Relationale Zahlen

Relationale Zahlnotation

Im Rahmen der philosophischen Überlegungen, insbesondere über existentielle Gegenwart, mögliche Einmaligkeit, relative Gegensätze, und Individualität haben sich Widersprüche in der klassischen Zahlendefinition^[1]Es soll hier keine abschließende Definition einer eigenen Zahlenkategorie für sich beansprucht werden. Es handelt sich um erste Überlegungen, aus reinem Interesse, bei denen prinzipiell jeder für … Continue reading aufgetan. Die sich im Übergang zur klassischen Zahlendefinition, in der Relation von relativen Gegensätzen nur bedingt aufheben, sondern einander relativieren lassen sollten. Es soll daher der Versuch gewagt werden, diese aufzuheben. In der klassischen Mathematik sind Zahlen absolute Objekte: 1, 2, 3 usw. Die bei einer Operation als geschlossen anzusehen sind, und sich im unbestimmten Teil auf ein Ganzes bezogen haben sollten, das undefiniert geblieben sein müsste^[2]So wären dem in der Deutung ein Zeichen gegeben worden, und noch eines, welches sich im gleichen Gedanken darauf stützen sollte, als es im Gegensatz keine Mehrzahl gegeben haben sollte. Mit einer … Continue reading.

In der relationalen Zahlnotation dagegen ist jede Zahl ein relationaler Anteil eines relativen Ganzen. Das bedeutet: Zahlen existieren nicht isoliert, sondern immer im Verhältnis zu einem Kontext \(G\), der selbst nur als relatives Ganzes gedacht wird.

In der klassischen Zahlenlehre impliziert beispielsweise die Zahl „2“ die Addition: „2“ ist als Zahlzeichen bereits das Ergebnis von „1+1“. Dadurch erhält die Rechenoperation selbst Zahlencharakter. Addiert werden Teile, von denen man nicht weiß, welcher Teil von welchem Teil, welcher ist. Im relationalen Zahlensinn soll dies gerade nicht gelten: Zahlen sind keine primitiven Zeichendefinitionen, sondern Projektionen relationierter Identitäten.

In der klassischen Zahlentheorie wird angenommen, dass die Unendlichkeit, die Ausdruck unserer Vorstellungen sein kann, und mathematisch erfasst werden sollte, unteilbar sein würde. Es liefert hinsichtlich Einmaligkeit, oder Unteilbarkeit gleich ein signifikantes Paradoxon, weil Endlichkeit und Unendlichkeit im Zahlenbegriff eigentlich schon verknüpft sind, eine Zahl wäre in diesem Sinne eine abgeschlossene Einheit, die jedoch in sich selbst immer weiter geführt werden könnte. 

Die Unendlichkeit ließe sich aber nicht teilen, weil kein eindeutiger Wert definiert werden könnte, der dieses Phänomen wiedergibt. Die Widersprüche, die sich unterdessen bei der klassischen Zahlenlehre auftun waren bereits genannt, die zur relationalen Zahlenidee geführt haben sollten. Unmöglich erscheint nicht die Unendlichkeit der Relationen. Wenn ein unbestimmter Teil im Widerspruch des Zahlenbereichs fortbestünde, also eine Menge eigentlich nie endlich bestimmt betrachtet werden könnte, weil im relativen Gegensatz, und per Definition gesehen, ein anderer Teil immer fortbestünde, müsste dieser eigentlich als relativ unendlich angesehen werden könnte. 

Die Frage lautet also auch, ob über die relationale Zahl, wenn sie als objektiv unendlich betrachtet werden würde, innerhalb einer unendlichen Anzahl an Relationen, eine Definitionsebene trotzdem möglich erscheine, weil aus der Relation, ein relatives Ganzes unweigerlich gegeben sein müsste, als der Teil, der ohnehin unbestimmt sein müsste. Die Unendlichkeit würde beibehalten werden, in der Zahl vorhanden bleiben, jedoch relativiert werden, wie eine bestimmte Menge daraus. 

Die Einführung der Relationalen Zahlen ist nicht auf einfache Berechnungen ausgelegt, dies ergibt sich schon aus den Widersprüchen der klassischen Zahlendefinitionen (Vereinheitlichung von Zahlen und Operatoren, Deutungsunbestimmtheit), die aufgezeigt werden sein sollten. Es geht um das Grundverständnis für die Zahlen. Ob die Definition notwendig erscheint, im Zusammenhang von bestehenden Zahlensystemen, Notationen, Definitionen, so bleibt der Ansatz erhalten^[3]Ausgehend von der menschlichen Deutung, von Objekten, Gegenständen, von Zahlenzeichen, muss es eine Bedeutung geben, wie bekannte Zahlensysteme abgeleitet wurden. Der Mensch neigt gerne dazu, etwas … Continue reading.

Ebenen der rationalen Zahlendefinition

Die Relationale Zahlentheorie unterscheidet strikt zwischen drei Ebenen:

1. Identitätsebene: Erkennbarkeit von Objekten, jedes Objekt \(o \in O\), welches in der mathematischen Forderung selbst Relationsobjekt einer Zahlnotation sein, respektive werden kann, er hält ein Symbol \( L (o)\), im Bedeutungssinn seiner Zahlennotation.
2. Relationsebene (Zahlenschicht): Bedeutungsbildung durch Relationen. Dies ist die eigentliche Ebene der relationalen Zahl. Sie beschreibt „Teil im Kontext des Ganzen“. Addition oder Aggregation von Relationen erzeugt neue Relationen, aber noch keine Zahlen.
3. Projektionsebene (Maßschicht): Übersetzung von Relationen in Zahlenwerte. Zahlen sind hier Abbilder, nicht Substanz.

Diese Ebenen bilden zusammen den vollständigen Bedeutungsrahmen: Objekte werden zunächst unterscheidbar gemacht (Identität), dann zueinander in Beziehung gesetzt (Relation), und erst anschließend optional in Zahlenwerte übersetzt (Projektion). Es gilt: Zahl = Relation, Maß = Projektion.

Die Teilmenge auf der Relationsebene

In der klassischen Mengenlehre ist eine Teilmenge \(X \subseteq G\) einfach eine Auswahl von Elementen aus einem Ganzen \(G\).

Im relationalen Zahlensinn dagegen ist eine Teilmenge nicht nur eine Auswahl, sondern eine Relation: \(X\) im Kontext von \(G\).

Die Relationsebene macht diese Deutung explizit.

Definition: Sei \(G\) ein relatives Ganzes und \(X \subseteq G\) eine Teilmenge.

Die Relationsebene definiert:

$$[X]_G = \varepsilon(X \mid G)$$.

1. Relatives Ganzes und relationaler Teil

Sei \(G\) ein relatives Ganzes und \(X \subseteq G\) ein relationaler Teil davon. Wir unterscheiden drei Schichten:

• Relative Einheit: $$ \varepsilon(X \mid G) $$
  Dies ist die Identität des Teils \(X\) im Kontext \(G\).
• Relatives Maß: $$ \mu(X \mid G) = \frac{\text{Größe von } X}{\text{Größe von } G} $$
  Dies ist der Anteil von \(X\) relativ zur Gesamtgröße des relativen Ganzen \(G\).
• Normalisierung: $$ \mathcal{N}_G(\mu(X \mid G)) = \varepsilon(X \mid G) $$
  Die Normalisierung hebt das Maß zur Einheit. Damit wird klar: Maß und Identität sind zwei Perspektiven auf einen relationalen Zusammenhang. Dadurch wird jede konkrete Größe zu einer Teil-Identität.

2. Relationale Zahl

Eine Zahl entsteht relational als Summe von Einheiten. Für eine Auswahl \(\mathsf{Part} \subseteq G\) gilt:

$$ \mathfrak{R}(\mathsf{Part} \mid G) = \sum_{X \in \mathsf{Part}} \varepsilon(X \mid G) $$

Das bedeutet: Die relationale Zahl ist die Gesamtheit der relativen Einheiten seiner Teile im Kontext des relativen Ganzen \(G\). Eine relationale Zahl ist formal ein Paar \(X, G\) mit Identität \( \varepsilon(X \mid G)\). Die Kardinalzahl entsteht erst durch \(P\) aus der Maßschicht.

 

4. Projektion auf klassische Zahl

Klassische Zahlen erscheinen erst durch Projektion. Die Projektion \(P\) wirft die Maßschicht ab und liefert einen Wert:

$$ P\!\left(\varepsilon(X \mid G)\right) = \mu(X \mid G) $$

$$ P\!\left(\mathfrak{R}(\mathsf{Part} \mid G)\right) = \sum_{X \in \mathsf{Part}} \mu(X \mid G) $$

Die klassischen Zahlen sind Projektionen der relationalen Struktur.

4. Identitätsschicht

In der Identitätsschicht gibt es keine Zahlen wie „1“ oder „a“. Sie kennt keine Kardinalzahlen. Stattdessen schreiben wir:

• Relationale Zahl: $$ [X]_G := \varepsilon(X \mid G) $$
• Projektion: $$ P([X]_G) = \mu(X \mid G) $$

Die Identitätsschicht kennt keine Mengenangaben. Im klassischen Denken bedeutet \(\frac{1}{2}\) sei ein Teil von zwei gleichen Teilen, sowie \(\frac{2}{2}\) seien zwei Teile von zwei gleichen Teilen. Doch dafür müsste man wissen, was die \(1\), was die \(2\) ist usw., und was Division mit Divisor \(2\) bedeute.

Im relationalen Ansatz gelte: $$ \mu(X \mid G) $$

Beispiel: Für ein Halbes Ganzes gelte: $$ \mu(X \mid G) = 0.5 $$ Und für ein Ganzes Ganzes gelte: $$ \mu(G \mid G) = 1 $$.

5. Algebraische Operationen im Kontext

Obwohl die Operationen wie Addition oder Multiplikation aussehen wie im klassischen Zahlbereich, sind sie kontextgebunden. Für festes relatives Ganzes \(G\) gilt:

• Addition: $$ [X]_G + [Y]_G := [X \cup Y]_G $$
• Skalierung: $$ \lambda \cdot [X]_G := [\lambda X]_G $$
• Multiplikation (optional): $$ [X]_G \cdot [Y]_G := [X \cap Y]_G $$

Für die Addition relativer Teile gelte: $$ \varepsilon(X \mid G) + \varepsilon(Y \mid G) = \mathcal{R}_G (\{X,Y\} \mid G) $$

Und für die Projektion dieser Addition:

$$ P(\mathcal{R}_G (\{X,Y\} \mid G)) \\ = \mu(X \mid G) + \mu(X \mid G) $$

6. Einbettung klassischer Zahlbereiche

Die klassischen Zahlbereiche \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\) erscheinen als Projektionen:

• Natürliche Zahl: $$ [X]_G \ \text{mit} P([X]_G) = n $$

7. Relationaler Raum

Sei \(A\) ein Zahlenbereich (z. B. \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\)). Für ein festes \(G\) sei der relationale Raum:

$$ \mathcal{R}_G = \varepsilon(X \mid G): \{ [X]_G \} $$

Die Projektionsabbildung \(P:\mathcal{R}_G \rightarrow A \) erzeugt klassische Zahlen als Maßwerte.

Obwohl die Operationen in \(\mathcal{R}_G\) formal wie in \(A\) aussehen, gilt:

$$ \mathcal{R}_G \not\cong A $$

Denn:

• \(A\) existiert nicht fundamental, sondern nur als Bild unter \(P\).
• \(\mathcal{R}_G\) ist ein originärer Raum von Identitäten: $$ \mathcal{R}_G = \{ [X]_G \mid X \in G \} $$

8. Schlussfolgerung

Die relationale Zahl ist eine originäre, kontextgebundene Einheit.
Klassische Zahlen entstehen erst durch Projektion.

Der Raum: $$ \mathcal{R}_G = \varepsilon(X \mid G): \{ [X]_G \} $$ sei fundamental – nicht abgeleitet aus den klassischen Zahlbereichen, sondern umgekehrt.

Relationale Struktur der rationalen Zahl: Vielheit und Selbstrelation

Selbstrelation: Für ein Teil \(X\) relativ zu sich selbst sei:

\(\varepsilon(X \mid X)\) = relative Einheit im Eigenraum:

$$ X, (X \mid X) = \varepsilon(X\mid X),$$

$$N_X(\varepsilon(X\mid X)) = \varepsilon(X\mid X).$$

Für ein relativ normiertes Objekt \(o \in G\) gelte:

$$[o]_G := \varepsilon(\{o\}\mid G)$$

Es sei Objekt \(o\) im Kontext \(G\).

Vielheit: Für eine Teilmenge \(X=\{o_1,\dots,o_m\}\subseteq G\) gelte:

$$[X]_G := \varepsilon(X\mid G) = [o_1]_G + \cdots + [o_m]_G.$$

Die Vielheit ist Aggregation von Selbstrelationen. Sie ist invariant gegenüber Vertauschung der Objekte und bleibt rein relational, solange keine Projektion gewählt wird.

Normalbruch: Definition: Der Normalbruch ist die Projektion einer Vielheitsrelation:

$$P([X]_G) = \frac{|X|}{|G|}.$$

Er drückt den Anteil der Teilmenge \(X\) im definierten Ganzen \(G\) aus. Besteht als Projektion einer Vielheitsrelation im definierten Ganzen.

Eigenschaften

• Kontextgebunden: Nur im definierten Ganzen projektionsfähig.
• Reihenfolgeinvariant: hängt nur von \(|X|\) ab.

Der Normalbruch zeigt die elementare Verbindung von Selbstrelation, Vielheit und Maß.

Doppelbruch: Definition: Die Doppelbruchrelation ist das Verhältnis zweier Projektionen:

$$\frac{P([X]_G)}{P([Y]_H)} = \frac{|X|/|G|}{|Y|/|H|} = \frac{|X|\cdot |H|}{|Y|\cdot |G|}.$$

Eigenschaften

• Kontextabhängig: Nur sinnvoll, wenn \(G,H\) definiert sind.
• Kontextkürzung: Wenn \(G=H\), reduziert sich die Relation auf \(\frac{|X|}{|Y|}\).

Division existiert nicht auf der Relationsebene, sondern nur projektiv über Inversion, als Verhältnis zweier Projektionen.

Auflösungsrelationen: Die Bruchrelation lässt sich entlang verschiedener Dimensionen auflösen:

Ordinalität: Stellung der Teile im Kontext:

$$[o_i]_G^{\text{ord}} := \varepsilon(\{o_i\}\mid G, \text{Position } i).$$

Projektion ignoriert Ordinalität, relational bleibt sie sichtbar. Es handelt sich vergleichsweise um eine innere Struktur (Indexierung).

Kardinalität: Anzahl der Teile im Verhältnis zum Ganzen:

$$[X]_G^{\text{card}} := |X|, \qquad P([X]_G)=\frac{|X|}{|G|}.$$

Dies ist die klassische Grundlage der Bruchprojektion.

Richtungsabhängigkeit: Orientierung der Relation:

$$[X]_G^{\rightarrow} = \varepsilon(X \to G), $$

$$[X]_G^{\leftarrow} := \varepsilon(G \to X).$$

Projektion:

$$P([X]_G^{\rightarrow}) = \frac{|X|}{|G|}, $$

$$P([X]_G^{\leftarrow}) = \frac{|G|}{|X|}.$$

Bruch und Kehrbruch sind Richtungsvarianten derselben Relation. Richtungsabhängigkeit ist eine äußere Orientierung (Relation zwischen Teil und Ganzem).

Kontextkürzung: Definition: Wenn \(G=H\), reduziert sich die Doppelbruchrelation auf eine reine Kardinalrelation:

$$\frac{P([X]_G)}{P([Y]_G)} = \frac{|X|}{|Y|}.$$

Bedeutung: Die Doppelbruchrelation hebt sich mit der Normalbruchrelation auf und bleibt als Kardinalrelation bestehen.

Richtungsdualität: Definition: Normalbruch und Doppelbruch sind Richtungsvarianten derselben Relation:

$$P([X]_G^{\rightarrow}) = \frac{|X|}{|G|}, $$

$$P([X]_G^{\leftarrow}) = \frac{|G|}{|X|}.$$

Bedeutung: Der Doppelbruch kann als „Richtungsumkehr“ des Normalbruchs gelesen werden, wenn Teil und Ganzes vertauscht werden.

Ordinal-Kardinal-Überlagerung: Definition: Die Kardinalrelation \(|X|\) ist reihenfolgeinvariant, die Ordinalrelation \([o_i]_G^{\text{ord}}\) reihenfolgeabhängig.

Aggregiert gilt:

$$[X]_G = \sum_i [o_i]_G^{\text{ord}}, \qquad P([X]_G)=\frac{|X|}{|G|}.$$

Bedeutung: Der Normalbruch ist die Projektion der Aggregation von Ordinalrelationen; die Doppelbruchrelation vergleicht diese Aggregationen.

Differenzrelation: Definition: Die Differenz zweier Normalbrüche ist nur gültig, wenn eine Teilmengenrelation besteht:

$$P([S]_G) – P([T]_G) = \frac{|S|-|T|}{|G|}, $$

$$\text{falls } T \subseteq S.$$

Bedeutung: Die Differenzrelation verbindet Normalbruch und Kardinalrelation; sie verschwindet, wenn keine Teilmengenrelation gilt.

Produktrelation: Definition: Multiplikation von Normalbrüchen entspricht der Komposition von Vielheitsrelationen:

$$P([X]_G) \cdot P([Y]_H) = P([X]_G \otimes [Y]_H).$$

Bedeutung: Die Produktrelation verbindet Normalbruch und Doppelbruch als kombinierte Projektion zweier Kontexte.

Grenzstruktur im Unendlichen

Sei \(G\) ein relatives Ganzes, dessen Zerlegung nicht vorgegeben ist.

Wir betrachten eine Folge von Zerlegungen \(\left(G_n\right) n \in N\) mit \(\left| G_n \right| = n\). Fixes Teil \(X \subseteq G_1\), das in jeder Zerlegung \(G_n\) enthalten bleibt. Projektion in der Maßschicht:

$$ P \left(\left([X] G_n\right)\right) = \mu(X \mid G_n) = \frac{[X]}{[G_n]} $$

Grenzübergang:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \mu(X \mid G_n) = 0.$$

Identitätsschicht bleibt erhalten:

\( \varepsilon(X \mid G_n)=\) relative Einheit von \(X\) im Kontext \(G_n\).

Interpretation: Das Maß verschwindet im unendlichen Ganzen, die Identität bleibt bestehen. Die relationale Zahl ist damit eine Brücke zwischen Endlichkeit(Maß) und Unendlichkeit (Identität).

Selbstrelation und Unendlichkeit

Mit der Selbstrelation soll die relationale Zahl als Tripel gefasst werden:
$$\mathfrak{R}(X \mid G) = \big( \varepsilon(X \mid G), \; \mu(X \mid G), \; \varepsilon(X \mid X) \big).$$

• \(\varepsilon(X \mid G)\): relative Einheit im Bezugsraum $G$
• \(\mu(X \mid G)\): Maßrelation im Bezugsraum \(G\)
• \(\varepsilon(X \mid X)\): Selbstrelation im Eigenraum \(X\)

Bedeutung: Die Selbstrelation zeigt, dass jede Zahl nicht nur relativ zu einem Ganzen existiert, sondern auch als Einheit zu sich selbst. Die Zahl zugleich als Teil im Ganzen und als Ganzes in sich selbst verstanden.

Relative Unendlichkeit: Aus der Selbstrelation folgt unmittelbar:
$$\varepsilon(X \mid X) = \mu(X \mid X).$$

Da jedes Teil \(X\) zugleich als eigenes Ganzes besteht, bleibt ein unbestimmter Rest immer fortbestehen. Dieser Rest sei die relative Unendlichkeit:
$$\Omega(X) := \text{Fortbestehen des unbestimmten Teils im Eigenraum } X.$$

Eigenschaften:

• Emergenz: Die Unendlichkeit ist keine externe Größe, sondern ergibt sich aus der Relation selbst.
• Relativität: Sie ist nicht absolut, sondern immer relativ zu einem Eigenraum \(X\).
• Integration: Die Selbstrelation integriert die Unendlichkeit, indem sie \(X\) zugleich als Teil und Ganzes bestimmt.

Die relationale Zahl trägt die Unendlichkeit als Teil ihrer Selbstrelation:

$$ \mathfrak{R}(X \mid G) = \big( \varepsilon(X \mid G), \; \mu(X \mid G), \; \varepsilon(X \mid X), \; \Omega(X) \big).$$

• \(\varepsilon(X \mid G)\): relative Einheit im Bezugsraum \(G\)
• \(\mu(X \mid G)\): Maßrelation im Bezugsraum \(G\)
• \(\varepsilon(X \mid X)\): Selbstrelation im Eigenraum \(X\)
• \(\Omega(X)\): relative Unendlichkeit im Eigenraum \(X\)

Bedeutung:

• Klassisch: Unendlichkeit gilt als unteilbar und nicht definierbar.
• Relational: Unendlichkeit ist immanent in jeder Zahl, da ein unbestimmter Rest immer fortbesteht.
• Die Zahl ist damit zugleich endlich (bestimmte Relation) und unendlich (relatives Fortbestehen).
• Die Selbstrelation macht diese Doppelstruktur sichtbar und integriert sie.

Die Unendlichkeit innerhalb der Selbstrelation ist Eigenschaft jeder relativen Zahl

$$\text{Endlichkeit} \;\;+\;\; \text{Unendlichkeit} \;\;=\;\; \text{Selbstrelation}.$$

Ableitung des identitären Maßes: Die Selbstrelation als fundamentale Bestimmung jeder relativen Zahl:

$$\varepsilon(X \mid X) = \mu(X \mid X).$$

Damit trägt jedes Teil \(X\) seine eigene Einheit im Eigenraum, unabhängig von einem äußeren Bezugsraum \(G\).

Projektion als Abbildung: Die Projektion auf ein relatives Ganzes \(G\) wird durch die Maßrelation definiert: Wir definieren eine Abbildung \(\Pi_G\), die die Selbstrelation in den Bezugsraum \(G\) überführt:

$$\Pi_G\big(\varepsilon(X \mid X)\big) = \varepsilon(X \mid G).$$

Damit folgt unmittelbar:

$$\Pi_G\big(\mu(X \mid X)\big) = \varepsilon(X \mid G).$$

Da \(\mu(X \mid X) = \varepsilon(X \mid X)\) gilt, ist die Projektion konsistent:

$$\mathcal{N}_G\big(\mu(X \mid G)\big) = \Pi_G\big(\mu(X \mid X)\big).$$

Strukturregeln: Additivität: Für disjunkte Teile \(X,Y \subseteq G\) gilt

$$\mu(X \cup Y \mid G) = \mu(X \mid G) + \mu(Y \mid G),$$

und identitätsseitig

$$\varepsilon(X \cup Y \mid G) = \varepsilon(X \mid G) + \varepsilon(Y \mid G).$$

Komposition: Für \(X \subseteq G \subseteq H\) gilt

$$\mu(X \mid H) = \mu(X \mid G)\cdot \mu(G \mid H),$$

und durch Normalisierung

$$\mathcal{N}_H(\mu(X \mid H)) = \varepsilon(X \mid H).$$

Die relationale Zahl einer Auswahl \(\mathsf{Part} \subseteq G\) ergibt sich als emergente Einheit:

$$\mathfrak{R}(\mathsf{Part} \mid G) = \sum_{X \in \mathsf{Part}} \varepsilon(X \mid G).$$

Mit der Ableitung aus der Selbstrelation gilt:

$$\varepsilon(X \mid G) = \Pi_G\big(\varepsilon(X \mid X)\big).$$

Damit ist die relationale Zahl letztlich ein Bild der Selbstrelation im Bezugsraum $G$.

Unendlichkeit: Die Selbstrelation trägt ein unbestimmtes Moment, das als relative Unendlichkeit verstanden wird:

$$ \Omega(X) := \text{Fortbestehen des unbestimmten Teils im Eigenraum } X.$$

Unter Projektion erscheint dieses Moment als Grenzprozess:

$$ \lim_{n \to \infty} \mu(X_n \mid G) = \mu(X \mid G), \quad
\lim_{n \to \infty} \mathcal{N}_G(\mu(X_n \mid G)) = \varepsilon(X \mid G).$$

Damit bleibt die Unendlichkeit nicht ausgeschlossen, sondern relational integriert. Das identitäre Maß in der Projektion auf reelle Zahlen ist kein autonomes Postulat, sondern das Bild der Selbstrelation unter Projektion und Normalisierung:

$$\mathcal{N}_G \big(\mu(X \mid G) \big) = \Pi_G \big(\varepsilon(X \mid X) \big) = \varepsilon(X \mid G)$$

Die reellen Maßwerte \(\mu(X \mid G)\) sind die Koordinaten der relationalen Einheit.

Erhalt des Komplements: \(C=G\setminus X\) bezeichnet das Komplement. Es sei \(\alpha([X]_G)\) der relationale Anteil \(\alpha\), ein rein kontextabhängiger, nicht normierter Parameter.

Es folge die Grundgleichung mit:

$$\mathfrak{R}(X\mid G)\;=\;\alpha([X]_G)\cdot\frac{|G|}{|X|}\;=\;r,$$

wobei \(r\) ein formaler Relativwert ist.

Tripelnotation mit Erhalt des Komplements: Zur klaren Trennung von Relation, Teilgröße und Komplement führen wir die Tripelnotation:

$$\mathcal{R}(X\mid G)\;=\;\big(\,\alpha([X]_G)\;,\;|X|\;,\;C\,\big)$$

ein. Die Tripelnotation ist äquivalent zur Produktform durch die Identität

$$ \alpha\cdot|G|=r\cdot|X|,$$

Relationalität: \(\alpha([X]_G)\) ist nur im Kontext \(G\) definiert; Aussagen über \(\alpha\) sind stets relativ zu \(G\).

Umformbarkeit: Solange die benötigten Inversen existieren, sind die elementaren Umformungen zulässig:

$$ \alpha = r\cdot\frac{|X|}{|G|},$$
$$|X|=\frac{\alpha}{r}\cdot|G|$$
$$|G|=\frac{r}{\alpha}\cdot|X|.$$

Ist ein Inverser nicht vorhanden, bleibt die multiplikative Form \(\alpha\cdot|G|=r\cdot|X|\) gültig.

Kontinuum: Im Kontinuum (z.B. einer Strecke, einer Fläche, einem Volumen) sei die Anzahl der Punkte in \(G\) unendlich und unzählbar. Daher muss die Projektionsfunktion \(P\) angepasst werden, um die Identität \(\varepsilon(X \mid G)\) weiterhin sinnvoll zu quantifizieren.

Im Kontinuum wird die relationale Zahl \([X]_G\) über das Maßverhältnis:

$$ \frac{\mu(X)}{\mu(G)} $$

projiziert. Hier sei \(\mu\) das entsprechende geometrische Maß.

Die Relationale Identität im Kontinuum \(\varepsilon(X \mid G)\) bleibt weiterhin bestehen, aber ihr Inhalt ändert sich. Die Projektion liefert den Wert, verliert aber die Form und Lage.

Differenzierung: Die Forderung nach der Integrationsumkehr und der Reaktionsdifferenz erhält im Kontinuum eine direkte mathematische Entsprechung:

Integration (Iteration): Die Aggregation von unendlich vielen infinitesimalen Teilen \(dx\) zu einem Ganzen \(X\) ist die klassische Integration \( \left(\int dx\right) \).

Differenzierung (Umkehrung): Die Umkehrung der Aggregation ist die Differenzierung \(\frac{d}{dx}\).

Die Anpassung an das Kontinuum erfordert, dass die relationale Algebra eine Operation definiert, die logisch äquivalent zur Differenzierung ist und die Identität \(\varepsilon(X \mid G)\) bei der Zerlegung bewahrt.

Die Ableitung:

$$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) – f(x)}{\Delta x}$$

kann als die Rate der Veränderung des relativen Ganzen interpretiert werden: Relation der Veränderung: Die Differenz \(f(x + \Delta x) – f(x)\) ist die Differenzrelation \([\Delta Y]_G\).

Infinitesimales Ganzes: Der Nenner \(\Delta x\) ist die infinitesimale Veränderung des relativen Ganzen.Die Änderungsrate: \(\frac{dy}{dx}\) ist die relative Änderungsrate der Identität \([Y]_G\) im Verhältnis zur Änderung des Ganzen \([X]_G\).

Relationale Bedeutung: Die Ableitung ist die Projektion der lokalen Reaktionsdifferenz der relationalen Identität \(\varepsilon(Y \mid G)\) auf die Maßebene. Sie zeigt, wie stabil die Relation \([Y]_G\) ist, wenn der Kontext \(G\) sich infinitesimal ändert.

Die Ableitung liefert den lokalen Eigenwert \(\left(\lambda_{lokal}\right)\) der relationalen Veränderung. An Extrempunkten (Nullstellen der Ableitung) wird die Änderungsrate Null. Dies ist ein lokaler Fixpunkt (Gleichgewichtszustand) der relationalen Symmetrie.

Das Integral ist die Projektion der Gesamt-Identität \([G]_{Total}\) im Intervall, gebildet durch die Integration aller elementaren, unzählbar vielen relationalen Einheiten \(\varepsilon(\Delta X \mid G)\).

Das Integral ist die relationale Aggregation. Die Integrationsumkehr ist somit die Differenzierung.

Fundamentalsatz: Der Fundamentalsatz der Analysis:

$$(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) – F(a)),$$

spiegelt relational wider, dass die Gesamt-Relation des Ganzen \(G\) (Integral) durch die Differenzrelation an den Rändern \(a\) und \(b\) bestimmt wird. Das Resultat ist immer eine Differenz der relationalen Identitäten an den Grenzen.

Im Kontinuum ist das relative Ganze \(G\) nicht nur die Gesamtgröße, sondern auch der Bezugsrahmen („das Koordinatensystem“), in dem \(X\) als der relationale Teil existiert, definiert durch sein Gesamtmaß \(\mu(G) \) und seinen Ursprung \(O_G.\)

Der Relationale Teil \(\left(X\right)\): Das Objekt der Betrachtung, definiert durch sein Maß \(\mu(X)\) und sein Zentrum \(O_X\).

Lage des Ganzen: Zuerst muss die Lage des Ganzen \(G\) im absoluten Raum (dem Über-Kontext K, z.B. \(\mathbb{R}^n)\) definiert werden. Dies geschieht durch einen Ursprungspunkt \(O_G\) und eine Orientierung (Achsen).

Relationale Forderung: Die Lage von \(X\) ist die Relation zwischen \(X’s\) eigenem Ursprungspunkt \(O_X\) und dem Ursprungspunkt \(O_G\) des Bezugsrahmens.

Die Definition der Lage \(\left(L\right)\): Die Lage \(L\left(X \mid G\right)\) ist eine zusätzliche relationale Information zur reinen Größe \(\varepsilon(X \mid G)\). Sie wird durch eine Vektor-Relation ausgedrückt:

$$L(X \mid G) = [O_X – O_G]$$

Die Relationale Identität \([X]_G\) (Eigenvektor): Die vollständige Definition des Teils, bestehend aus einem Tupel:

$$[X]_G = (\varepsilon(X \mid G), L(X \mid G))$$

Größe \(\left(\varepsilon(X \mid G)\right)\): Die reine Proportion (Eigenwert), projiziert als:

$$ P(\varepsilon) = \frac{\mu(X)}{\mu(G)} $$

Eigenwertsynthese der Relationsabbildung und reziproke Relationsumkehr

Die relationale Zahl in einer erweiterten Form:

$$\mathfrak{R}(X\mid G)\;=\;\alpha([X]_G)\cdot\frac{|G|}{|X|}\;=\;r + U$$

Mit U als unbestimmter Teil, der bei richtungsabhängigen Annäherungen verbleibt.

Unbestimmter Teil: Ist die Approximation nicht richtungsunabhängig, so definieren wir den unbestimmten Teil U als die Menge (oder formale Summe) der Beiträge, die von der Wahl der Annäherungsrichtung abhängen. Richtungsunabhängigkeit liegt vor, wenn die Relation zwischen \(X\) und \(G\) symmetrisch oder homogen ist. Beispiele: Gleichverteilung, Proportionale SkalierungIsotrope, Struktur. Formal kann U als Element eines geeigneten Vektorraums der Restmodi notiert werden.

Unter der Annahme es existiere eine vollständige Maßprojektion, als wenn die relationale Größe vollständig auf ein klassisches Maß projiziert wird, und keine zusätzliche strukturelle Information berücksichtigt wird, dann ist die Abbildung per Konstruktion richtungsunabhängig. Das ist der Grenzfall, in dem relationale Zahlen auf gewöhnliche rationale Zahlen kollabieren. In diesen Fällen fällt U weg. Die in diesem Beitrag genannten Rechenoperationen vereinfachen sich in diesem Fall auf diesen Teil, dies entspricht im weitesten Sinne dann den Rechenoperationen von klassischen Zahlendefinitionen.

Eigenwertsynthese der linearen Annäherung: Sei L linear und diagonaliserbar auf einem Raum V . Dann existiert eine Darstellung

$$ L= \sum_{I \in i} \lambda_i \Pi_{v_i}.$$

wobei \(\lambda_i\) Eigenwerte und \(\Pi_{v_i}\) die Projektionen auf die zugehörigen Eigenmoden \(v_i\) sind. Die Eigenwertsynthese einer Relation besteht darin, die Wirkung von L auf dominante (richtungsunabhängige) Modi und nichtdominante (richtungsabhängige) Modi zu trennen.

Zerlegung in dominante und nichtdominante Modi: Sei \(V =V_{dom} ⊕ V_{rest}\) eine Zerlegung in den von Eigenwerten mit größter Wirkung erzeugten Unterraum \(V_dom\) und den Rest \(V_rest\). Dann lässt sich für die lineare Näherung L schreiben

$$L = L_{dom} + L_{rest}, $$

$$ L_{dom} = \sum_{I \in i} \lambda_i \Pi_{v_i}, $$

$$ L_{rest} = \sum_{I \in i} \mu_i \Pi_{w_i}, $$

und der unbestimmte Teil U wird durch \(L_{rest}\) beschrieben.

Die Zerlegung folgt aus der Spektralzerlegung von L. Dominante Eigenwerte sind diejenigen, deren Beträge die asymptotische Wirkung bestimmen; der Rest enthält alle Modi, deren Beiträge bei bestimmten Richtungen variieren. Die Projektion auf \(V_{rest}\) liefert genau die richtungsabhängigen Anteile, die wir als U identifizieren.

Reziproke Umkehrung

Reziproke Relationsumkehr auf endlichen Teilungen: Eine wohldefinierte Umkehr von \(\mathcal{R}\) ist im Allgemeinen nicht global existent. Wir konstruieren daher eine reziproke Relationsumkehr \(\mathcal{R}^{-1}_{\mathrm{recip}}\), die auf einer gegebenen endlichen Teilung wirkt.

Endliche Teilung: Sei \(\{X_k\}_{k=1}^n\) eine endliche Zerlegung von \(G\) mit \(X_k \subseteq G \) paarweise disjunkt und \( \bigsqcup_{k=1}^n X_k = G\).

Reziproker Inversionsoperator: Die reziproke Relationsumkehr auf der Teilung \(\{X_k\}\) ist ein Operator

$$\mathcal{R}^{-1}_{\mathrm{recip}}:\ \big(\mathfrak{R}\left(X_1\mid G\right),\dots,\mathfrak{R}\left(X_n\mid G\right)\big)\ \mapsto\ \left(\tilde\alpha_1,\dots,\tilde\alpha_n\right)$$

so dass für jedes \(k\)

$$\tilde\alpha_k\cdot\frac{|G|}{|X_k|} + U_k = \mathfrak{R}\left(X_k\mid G\right)$$

wobei \(U_k\) der lokale unbestimmte Teil auf \(X_k\) ist. Die Werte \(\tilde\alpha_k\) sind die reziproken Umkehrwerte auf der gewählten Teilung.

Existenz und Nicht‑Eindeutigkeit: Ist die Matrix der linearen Näherung von \(\mathcal{R}\) auf der Basis der Teilmengen invertierbar (z.,B. bei geeigneter Wahl von Basisfunktionen), so existiert eine Lösung \(\left(\tilde\alpha_k\right)\). Ohne Invertierbarkeit ist die Lösung nicht eindeutig; die Nicht‑Eindeutigkeit wird durch die Komponenten von \(U_k\) beschrieben

Nichtkommutativität von Projektion und Umkehr: Für eine gegebene Teilung \(\{X_k\}\) gelte im Allgemeinen

$$\mathcal{R}^{-1}_{\mathrm{recip}}\circ\Pi \neq \Pi\circ\mathcal{R}^{-1}_{\mathrm{recip}}$$

wobei \(\Pi\) die Projektion auf eine Maßbildung oder auf dominante Modi bezeichnet.

Begründung: Das Ergebnis der Umkehr sei von der Reihenfolge abhängig: erst projizieren, dann invertieren liefert andere Freiheitsgrade als erst invertieren, dann projizieren. Die Differenz ist genau durch die Restmodi \(U\) beschrieben.

Wohldefiniertheitskriterien für die Umkehr: Damit \(\mathcal{R}^{-1}_{\mathrm{recip}}\) auf einer Teilung als „wohldefiniert“ gelten kann, sind mindestens folgende Bedingungen zu fordern:

Endlichkeit der Teilung: Die Teilung ist endlich und explizit angegeben.

Invertierbarkeit der lokalen Näherung: Die lokale lineare Näherung auf der Basis der Teilmengen ist invertierbar oder es ist eine Regularisierung angegeben.

Kontrolle des unbestimmten Teils: Es existiert eine Konvention zur Behandlung von \(U_k\) (z.,B. Projektion auf Gleipunkte, Normierung, oder Festlegung von Null für nicht beobachtbare Modi).

Richtungsunabhängigkeit der dominanten Modi: Die dominanten Eigenmoden sind richtungsunabhängig oder ihre Richtungsabhängigkeit ist durch die Repräsentationsregel kompensiert.

Beispiel: einfache endliche Teilung: Sei \(G\) in zwei disjunkte Teile \(X_1,X_2\) zerlegt. Gegeben sind

$$\mathfrak{R}\left(X_k\mid G\right)=r_k,\qquad k=1,2.$$

Die reziproke Umkehr liefert

$$\tilde\alpha_k=\frac{r_k-U_k}{|G|/|X_k|}.$$

Ist \(U_k\) unbekannt, so bleibt \(\tilde\alpha_k\) nur bis auf den Term \(U_k\) bestimmt.

Beispiel: Gleipunktregulierung: Sei \(U\) als Gleipunktverteilung \(U=\sum_j \mu_j w_j\) gegeben. Wähle eine Projektion auf dominante Modi und setze die Projektion von \(U\) auf diese Modi gleich null. Dann ergibt sich eine eindeutige regulierte Lösung für \(\left(\tilde\alpha_k\right)\).

Der unbestimmte Teil \(U\) ist eine unvermeidliche Folge richtungsabhängiger Annäherungen; er lässt sich durch Eigenwertsynthese und Gleipunktarithmetik systematisch beschreiben. Eine reziproke Relationsumkehr ist nur auf endlichen, explizit gewählten Teilungen wohldefiniert; ihre Eindeutigkeit hängt von Invertierbarkeitsbedingungen und von Konventionen zur Behandlung von \(U\) ab.

Projektion und Umkehr vertauschen im Allgemeinen nicht; die Reihenfolge der Operationen bestimmt die Freiheitsgrade der Lösung. Die vorgeschlagenen Formalismen erlauben eine transparente Trennung zwischen formaler Symbolik (Komplement bleibt erhalten) und optionalen Repräsentationsregeln, die numerische Werte liefern.

Alle Konstruktionen sind modelltheoretisch: sie geben an, welche zusätzlichen Annahmen nötig sind, um aus formalen Relationen konkrete reelle Werte zu gewinnen.

Division als relationale Teilung: Eine Division durch eine ganze Zahl \(n\) wird als Wahl einer endlichen Teilung mit \(n\) Komponenten verstanden:

$$G=\bigsqcup_{k=1}^n X_k,\qquad \text{Ziel: }|X_k|\approx\frac{|G|}{n}.$$

Die resultierenden relationalen Teile sind

$$\mathcal{R}(X_k\mid G)=(\alpha_k,|X_k|,C_k),\qquad k=1,\dots,n.$$

Symmetriekonvention: Setze \(|X_k|=|G|/n\) und \(\alpha_k=\alpha/n\) falls eine symmetrische Teilung gewünscht ist. Diese Konvention ist optional und muss explizit deklariert werden.

Richtungsabhängigkeit: Fehlt Symmetrie oder Richtungsunabhängigkeit, so verbleibt ein Rest \(U\) mit Komponenten \(U_k\), und die Gleichungen lauten

$$\mathfrak{R}(X_k\mid G)=\alpha_k\frac{|G|}{|X_k|}+U_k.$$

Wohldefiniertheit: Division ist wohldefiniert als Operation auf Tripeln genau dann, wenn die Teilung und die Transformationsregel für \(\alpha\) angegeben sind.

Beispiel: Für \(n=2\) und symmetrischer Konvention:

$$\mathcal{R}(X_1\mid G)=\mathcal{R}(X_2\mid G)=\Big(\frac{\alpha}{2},\frac{|G|}{2},C\Big).$$

Ohne Konvention bleibt \(U\) nichttrivial und die Hälften sind nur relational äquivalent.

Quadration als Relationstransformation: Die Quadration ist eine Abbildung auf Tripeln, die Skalen und relationale Anteile transformiert:

$$Q:\ (\alpha,|X|,C)\mapsto (\alpha^2,\;|X|^2,\;C^{(2)}) + U^{(2)},$$

wobei \(C^{(2)}\) das Komplement in der quadrierten Relation bezeichnet und \(U^{(2)}\) den transformierten Rest.

Auf dem Bereich, wo Vorzeichenambiguität entfällt (z. B. nichtnegative Relationen), ist die Quadratwurzel als Umkehr lokal möglich; global bleibt die Umkehr mehrdeutig.

Potenzieren mit rationalen Exponenten: Für \(p/q\in\mathbb{Q}\) sei

$$\mathcal{R}^{(p/q)} := \big(\mathcal{R}^{(1/q)}\big)^{(p)},$$

wobei \(\mathcal{R}^{(1/q)}\) die \(q\)-te reziproke Umkehr auf einer gewählten Teilung ist.

Existenzbedingungen: Es muss eine Teilung mit \(q\) Komponenten existieren, auf der \(\mathcal{R}^{-1}_{\mathrm{recip}}\) definiert ist. Lokale Invertierbarkeit oder eine Regularisierung ist erforderlich, um Mehrdeutigkeiten zu beseitigen. Die Behandlung des Restes \(U\) muss festgelegt sein, z. B. durch Projektion auf dominante Modi oder durch Gleipunktregulierung.

Algebraische Regeln: Unter den gegebenen Existenzbedingungen gelten die üblichen Potenzgesetze formal, z. B.

$$\mathcal{R}^{(a)}\cdot\mathcal{R}^{(b)}=\mathcal{R}^{(a+b)},$$

sofern die Operationen auf denselben Repräsentanten und mit konsistenter Behandlung von \(U\) ausgeführt werden.

Wurzelziehen als reziproke Relationsumkehr: Die \(n\)-te Wurzel ist die reziproke Relationsumkehr auf einer endlichen Teilung mit \(n\) Komponenten. Sei \(G=\bigsqcup_{k=1}^n X_k\). Dann ist die reziproke Umkehr definiert durch das System

$$\tilde\alpha_k\frac{|G|}{|X_k|} + U_k = \mathfrak{R}(X_k\mid G),\qquad k=1,\dots,n,$$

wobei die Unbekannten \(\tilde\alpha_k\) die Wurzelanteile darstellen.

Invertierbarkeit: Die lokale Näherungsmatrix muss invertierbar sein oder es muss eine Regularisierung (z. B. Tikhonov) angegeben werden.

Nichtkommutativität: Projektion und Umkehr vertauschen im Allgemeinen nicht; die Reihenfolge der Operationen beeinflusst die Freiheitsgrade der Lösung.

Gleipunktprojektion: Eine sinnvolle Regularisierung besteht darin, \(U_k\) als Gleipunktverteilung zu behandeln und auf dominante Modi zu projizieren, wodurch eindeutige \(\tilde\alpha_k\) entstehen.

Der unbestimmte Teil und Richtungsabhängigkeit: Der Term \(U\) fasst alle Beiträge zusammen, die von der Wahl der Teilung, der Annäherungsrichtung oder der Projektion abhängen. Operationen transformieren \(U\) nach eigenen Regeln; häufig bleibt ein nicht verschwindender Rest bestehen, der die Nichtwohldefiniertheit der numerischen Interpretation markiert.

Beispiel: Halbierung ohne Konvention: Sei \(\mathcal{R}(X\mid G)=(\alpha,|X|,C)\) mit keiner weiteren Konvention. Die Aussage „\(G/2\)“ ist nur formal; ohne Symmetriekonvention bleiben die beiden Hälften durch Restterme \(U_1,U_2\) unterschieden:

$$\mathfrak{R}(X_1\mid G)=\alpha_1\frac{|G|}{|X_1|}+U_1,$$

$$\mathfrak{R}(X_2\mid G)=\alpha_2\frac{|G|}{|X_2|}+U_2.$$

Beispiel: Quadratwurzel mit Skalierungsregel: Wähle die Skalierung \(\alpha=\beta/|G|\). Dann

$$\mathfrak{R}=\frac{\beta}{|X|}.$$

Die Quadratwurzel kann formal als

$$\sqrt{\mathfrak{R}}=\frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{|X|}}$$

notiert werden, sofern \(\beta>0\) und \(|X|>0\) sowie eine Konvention zur Behandlung von \(U\) getroffen wurde.

Die klassischen Operationen Division, Quadration, Potenz und Wurzel lassen sich im relationalen Zahlensinn konsistent formulieren, wenn man, die Teilung und Skalierungsregeln explizit angibt, die Behandlung des unbestimmten Teils \(U\) festlegt und Invertierbarkeitskriterien oder Regularisierungen für reziproke Operationen definiert.

Relationale Arithmetik: Subtraktion, Addition, Quotienten und Teilungsinkrement}

In der klassischen Arithmetik erscheinen Subtraktion, Addition, Quotienten und Teilungsoperationen als elementare Regeln. Im relationalen Zahlensinn jedoch sind diese Operationen nicht bloß numerische Manipulationen, sondern Transformationen auf Relationen \(\mathcal{R}(X\mid G)=(\alpha,|X|,C)\) mit einem unbestimmten Rest \(U\).

Subtraktion als Differenzrelation: Für zwei relationale Zahlen \(\mathcal{R}_1=(\alpha_1,|X_1|,C_1)\) und \(\mathcal{R}_2=(\alpha_2,|X_2|,C_2)\) sei die Differenz gegeben durch

$$\mathcal{R}_\Delta := \mathcal{R}_1-\mathcal{R}_2$$

$$= \big(\alpha_1-\alpha_2,\;|X_1|-|X_2|,\;C_\Delta\big),$$

mit \(C_\Delta=(G\setminus X_1)\cup(G\setminus X_2)\) und Rest \(U_\Delta\).

Die Subtraktion erzeugt den „nicht relativ gleichen Teil“: das Komplement \(C_\Delta\) markiert die Differenz, die eine Zahl relational definiert. Wenn \(\alpha_1=\alpha_2\) und \(|X_1|=|X_2|\), bleibt nur \(U_\Delta\) als Ausdruck der Richtungsabhängigkeit.

Addition und Wachstum des Unbestimmten: Die Addition zweier Relationen ergibt

$$\mathfrak{R}_1+\mathfrak{R}_2$$

$$=\Big(\alpha_1\frac{|G|}{|X_1|}+\alpha_2\frac{|G|}{|X_2|}\Big) + (U_1+U_2).$$

Addition summiert nicht nur die deterministischen Anteile, sondern auch die Restanteile \(U\). Wiederholte Addition kann das Unbestimmte vervielfachen und neue Interferenzterme erzeugen. Ohne explizite Regel zur Behandlung von \(U\) führt Addition zu wachsender Unbestimmtheit.

Quotienten und Selbstquadrierung: Man betrachte Quotienten der Form

$$Q=\frac{\mathfrak{R}}{\mathfrak{R}^2},\qquad \mathfrak{R}=\alpha\frac{|G|}{|X|}+U.$$

Der Nenner \(\left(\alpha\frac{|G|}{|X|}+U\right)^2\) kann nicht invertierbar sein, wenn \(\mathfrak{R}=0\) oder wenn \(U\) dominiert. Ohne Regularisierung bleibt \(Q\) undefiniert; die Division ist nicht wohldefiniert. Mit Projektion oder Skalierungsregel kann \(Q\) reguliert werden, z.\,B. durch Vernachlässigung von \(U\) oder durch Gleipunktprojektion. Quotienten aus selbstquadrierten Relationen sind besonders empfindlich gegenüber \(U\). Sie bleiben Teil der undefinierten Abbildung, bis eine Regularisierung gewählt wird.

Teilungsinkrement als logisch angeleitete Folge: Sei \(G=\bigsqcup_{k=1}^{n_m} X^{(m)}_k\) eine Folge von Teilungen. Das Teilungsinkrement ist

$$\Delta^{(m)}_k := \mathcal{R}(X^{(m+1)}_k\mid G) – \mathcal{R}(X^{(m)}_k\mid G).$$

Das Teilungsinkrement ist die kleinste, logisch aus der Teilungsregel folgende Änderung der relationalen Anteile. Es zeigt, wie sich Relationen bei sukzessiver Verfeinerung verändern. Konvergenz oder Divergenz von \(\Delta^{(m)}\) ist entscheidend für die Stabilität der relationalen Arithmetik.

Beispiel: Subtraktion:

$$\mathcal{R}_1=(2,4,C_1),\quad \mathcal{R}_2=(1,2,C_2).$$

Dann

$$\mathcal{R}_\Delta=(1,2,C_\Delta).$$

Beispiel: Addition:

$$\mathfrak{R}_1+\mathfrak{R}_2=(\alpha_1\frac{|G|}{|X_1|}+\alpha_2\frac{|G|}{|X_2|})+(U_1+U_2).$$

Beispiel: Quotient:

$$\frac{\mathfrak{R}}{\mathfrak{R}^2}=\frac{\alpha\frac{|G|}{|X|}+U}{(\alpha\frac{|G|}{|X|}+U)^2}.$$

Ohne Regularisierung bleibt dieser Ausdruck undefiniert.

Im relationalen Zahlensinn sind Subtraktion, Addition, Quotienten und Teilungsinkremente keine trivialen Operationen, sondern komplexe Transformationen auf Relationen. Ihre Wohldefiniertheit hängt von expliziten Teilungs‑ und Skalierungsregeln, der Behandlung des unbestimmten Teils \(U\) und von Invertierbarkeitskriterien ab. Das Teilungsinkrement ist die logisch angeleitete Folge, die die Dynamik der Relationen bei Verfeinerung sichtbar macht.

Verbindung der Projektionsebene zur Einheit: Grundsatz: Die relationale Einheit ist primär die Selbstrelation im Eigenraum:

$$\varepsilon(X\mid X).$$

Der klassische Zahlenwert \(1\) ist nicht diese Selbstrelation, sondern eine \emph{Koordinatenrepräsentation} der Selbstrelation in einer gewählten Projektion/Normalisierung. Deshalb darf \(1\) nicht als ontologisch identisch mit der relationalen Einheit aufgefasst werden.

Formale Trennung der Ebenen:

Relationale Ebene: Elemente sind Identitätsschichten \(\varepsilon(\cdot\mid\cdot)\). Hier ist die Einheit \(\varepsilon(X\mid X)\) intrinsisch.

Projektionsebene: Elemente sind Maßkoordinaten \(\mu(\cdot\mid G)\in A\). Hier erscheinen numerische Repräsentanten wie \(\mu(G\mid G)=|G|/|G|\).

Trivialisierung: Eine Wahl \(\mathcal{T}_G\) (Trivialisierung) liefert die numerische Repräsentation der Identitätsschicht in \(A\).

Koordinatenabbildung und Nicht-Identität: Koordinatenabbildung: Sei \(\Pi_G\) die Projektion von der relationalen Ebene in die Kontextklasse \(R_G\) und \(P\) die kardinale Projektion in \(A\). Die Komposition

$$\kappa_G := P\circ\Pi_G$$

liefert die Maßkoordinate einer Identitätsschicht:

$$\kappa_G\big(\varepsilon(X\mid X)\big)=\mu(X\mid G).$$

Zahl 1 als Koordinate: Der Wert \(1\) ist die Koordinate von \(\varepsilon(G\mid G)\) unter einer speziellen Trivialisierung \(\mathcal{T}_G\), d.,h.

$$\mathcal{T}_G\big(\varepsilon(G\mid G)\big)=1 \quad\Longleftrightarrow\quad \mu(G\mid G)=\frac{|G|}{|G|}\ \text{und}\ \mathcal{N}_G(\mu(G\mid G))=\varepsilon(G\mid G).$$

Ohne Wahl einer Trivialisierung ist die Gleichsetzung \(\varepsilon(G\mid G)\equiv 1\) nicht gerechtfertigt. Die linke Seite ist ein Element der relationalen Ebene, die rechte Seite ein Element der Projektionsebene. Eine Gleichsetzung erfordert eine explizite Isomorphie (Trivialisierung) zwischen diesen Ebenen; diese ist eine zusätzliche Strukturentscheidung, keine Folge der relationalen Definition.

Probleme bei direkter Identifikation:

Kontextabhängigkeit: \(\mu(G\mid G)\) setzt ein wohldefiniertes Maß \(|G|\) voraus. Bei unendlichen oder nicht-σ-endlichen \(G\) ist \(|G|/|G|\) nicht sinnvoll.

Repräsentantenabhängigkeit: Verschiedene Repräsentanten \([X]_G\) können dasselbe Maß liefern; die Identifikation mit \(1\) würde diese Nicht-Eindeutigkeit überdecken.

Ontologische Verschiebung: Die Gleichsetzung würde die relationale Einheit in ein primitives Zahlzeichen verwandeln und damit die relational-philosophische Absicht unterlaufen.

Einheit als Sektion einer Faserstruktur: Einheitssektion: Betrachte die Faserung \(\{R_G\}_{G}\) mit Projektionen \(\kappa_G\). Eine \emph{Einheitssektion} ist eine Wahl von Elementen \(e_G\in R_G\) mit

$$\Pi_G(e_G)=\varepsilon(G\mid G).$$

Eine Trivialisierung \(\mathcal{T}_G\) entspricht dann der Wahl einer Basis in der Faser, die \(\varepsilon(G\mid G)\) die Koordinate \(1\) zuweist. Die Zahl \(1\) ist die Koordinate der Sektion \(\varepsilon(G\mid G)\) in einer gewählten Trivialisierung; sie ist kein intrinsisches Element der Faser selbst.

Renormalisierung und Invarianz: Renormalisierungsoperator: Sei \(\mathcal{R}_G\) ein Operator auf Maßkoordinaten, der die Projektion so skaliert, dass die Identitätsschicht sichtbar bleibt:

$$\mathcal{R}_G(\mu(X\mid G)) := \mu(X\mid G)\cdot s_G(X),$$

wobei \(s_G(X)\) eine kontextabhängige Skalierungsfunktion ist, z.\,B. \(s_G(X)=|G|/|X|\) falls sinnvoll.

Invarianz der Selbstrelation: Für jede zulässige Skalierung \(s_G\) sei

$$\mathcal{N}_G\big(\mathcal{R}_G(\mu(X\mid G))\big)=\varepsilon(X\mid X),$$

falls \(\mathcal{R}_G\) so gewählt ist, dass sie die Rückführung auf die Eigenebene realisiert. Die Wahl von \(s_G\) ist jedoch nicht eindeutig.

Kategorienblick: Formuliere \(R_G\) als Faserkategorie über der Kategorie der Kontexte; Trivialisierungen sind dann natürliche Transformationen, nicht Axiome.

Beispiel: Sei \(G=[0,n]\), \(X=[0,1]\). Ohne Trivialisierung:

$$\mu\left(X\mid G\right)=\frac{1}{n} \quad \underrightarrow{n \to \infty} \quad 0.$$

Mit Trivialisierung \(s_{G_n}(X)=n\) (Renormalisierung) erhält man

$$\mathcal{R}_{G_n}\big(\mu(X\mid G_n)\big)=1,$$

und die Rückführung liefert \(\varepsilon(X\mid X)\). Dies zeigt die Notwendigkeit der expliziten Skalierungswahl.

Die Selbstrelation bleibt die fundamentale Entität; numerische Einsen entstehen erst durch die Wahl einer Trivialisierung/Normalisierung. Diese Trennung ist zentral für die Kohärenz der relationalen Theorie und verhindert, dass klassische Arithmetik unbeabsichtigt in die relationale Ebene eingeschleust wird.

Die Relationale Zahl im Vektorfeld: Die Relationale Zahl existiert nicht als fixer Wert, sondern als Relation zwischen Teil und Ganzem. Sie kann geometrisch als Vektorfeld verstanden werden, in dem jede Richtung eine Teilung des Ganzen repräsentiert und das Zentrum die Selbstrelation trägt.

Sei \(G\) ein relatives Ganzes und \(X \subseteq G\) ein Teil. Dann wird die Relationale Zahl notiert als

$$[X]_G := \varepsilon(X \mid G),$$

mit Projektion

$$P([X]_G) = \mu(X \mid G) = \frac{|X|}{|G|}.$$

Selbstrelation: Die Einheit erscheint nicht zwingend als Zahlzeichen „1“, sofern nicht normiert, sondern als Selbstrelation:

$$[G]_G := \varepsilon(G \mid G), \qquad P([G]_G) = \frac{|G|}{|G|}.$$

Das Zentrum des Vektorfeldes entspricht dieser Selbstrelation.

Vektorielle Darstellung: Jede Teilung sei als Richtung im Raum dargestellt:

$$\vec{v}_X(t) = t \cdot \hat{r}_X,\quad \hat{r}_X \in S^{n-1},$$

wobei \(\hat{r}_X\) die Richtung des Teils \(X\) im Kontext \(G\) bezeichnet.

Das Zentrum \(Z\) entspricht der Selbstrelation \([G]_G\):

$$\vec{v}_X(0) = Z \sim [G]_G.$$

Herleitung der komplexen Zahlen aus relationalen Zahlen: Ausgehend von der Tripelnotation:

$$R(X\mid G) = \bigl(a([X]G),\; |X|,\; C\bigr)$$

und den dort beschriebenen Ebenen (Identität, Relation, Projektion) definieren wir eine allgemeine Abbildung, die jedem relationalen Objekt eine zweidimensionale reelle Koordinate zuordnet und damit die Struktur der komplexen Zahlen erzeugt.

Projektion (Maßkomponente): Sei \(R\left(X\mid G\right)\) ein relationales Tripel. Die Maßkomponente \(r\in\mathbb{R}\) ist durch die Projektion auf die Maßschicht gegeben:

$$r = p\left(X\mid G\right),$$

z.,B. \(r=\frac{|X|}{|G|}\) oder eine skalierte Variante.

Identitätskomponente: Die \emph{Identitätskomponente} \(s\in\mathbb{R}\) ist eine lineare Projektion der Selbstrelation und des unbestimmten Teils auf eine reelle Achse:

$$s := S\bigl(\varepsilon(X\mid X),\,U\bigr),$$

wobei \(S\) eine festzulegende lineare Abbildung (Normierungsregel) ist und \(U\) den im Anhang beschriebenen unbestimmten/imaginären Anteil bezeichnet.

Linearität der Komponentenprojektion: Die Abbildungen \(p\) und \(S\) sind linear bezüglich disjunkter Aggregation (sofern Kontexte vereinheitlicht sind):

$$p(X_1\cup X_2\mid G)=p(X_1\mid G)+p(X_2\mid G),$$

$$S(\varepsilon_1+\varepsilon_2)=S(\varepsilon_1)+S(\varepsilon_2).$$

Abbildung auf \(\mathbb{C}\): Zuordnung: Definiere die Abbildung

$$\Phi:\{\,\text{relationale Tripel}\,\}\longrightarrow\mathbb{C},$$

$$\Phi\bigl(R(X\mid G)\bigr):=r + i\,s,$$

mit \(r\) und \(s\) wie oben definiert.

Vektorraumisomorphie: Unter den Axiomen der Linearität ist die Abbildung \(\Phi\) ein Isomorphismus zwischen der durch Komponentenaddition erzeugten reellen Zweidimensionalität der relationalen Zahlen und dem Vektorraum \(\mathbb{R}^2\). Insbesondere gilt komponentenweise:

$$\Phi(R_1+R_2)=\Phi(R_1)+\Phi(R_2).$$

Algebraische Struktur: Einführung der imaginären Einheit:

Operator \(J\): Auf dem reellen Zweidimensionalraum \(V=\mathrm{span}\{\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_i\}\) definieren wir den linearen Operator \(J:V\to V\) durch

$$J(\mathbf{e}_r)=\mathbf{e}_i,\qquad J(\mathbf{e}_i)=-\mathbf{e}_r.$$

Quadratregel: Der Operator \(J\) erfüllt \(J^2=-\mathrm{Id}\). Die Multiplikation mit \(J\) entspricht der relationalen Operation, die Maß- und Identitätskomponente orthogonal zueinander koppelt.

Algebraische Identifikation: Die Algebra \({r + sJ \mid r,s\in\mathbb{R}}\) mit der üblichen Verknüpfung ist isomorph zu \(\mathbb{C}\) durch die Identifikation \(J\mapsto i\). Damit erhält jede relationale Zahl die komplexe Darstellung (r+is).

Beispiel: Addition: Für \(z_k=\Phi(R_k)=r_k+i s_k\) gelte

$$z_1+z_2=(r_1+r_2)+i(s_1+s_2),$$

was der komponentenweisen Aggregation relationaler Maße und Selbstrelationen entspricht.

Multiplikation: Die Multiplikation wird durch die übliche komplexe Regel definiert:

$$z_1 z_2 = (r_1r_2 – s_1s_2) + i(r_1 s_2 + r_2 s_1).$$

Relationale Interpretation: das reelle Produkt \(r_1r_2\) ist das kombinierte Maßprodukt, der Term \(-s_1s_2\) modelliert die Wechselwirkung der Identitätsanteile, und die gemischten Terme kodieren Maß–Identität‑Kopplungen.

Konjugation: Die komplexe Konjugation entspricht der Richtungsumkehr der Identitätskomponente:

$$ \overline{r+i s}=r-i s, $$

d.,h. Spiegelung der Selbstrelation bei unverändertem Maß.

Betrag und Argument:

$$ \left| z \right|=\sqrt{r^{2}+s^{2}},$$

$$ \arg z= \mathrm{atan2}( s, r), $$

wobei \(|z|\) die kombinierte Stärke von Projektion und Selbstrelation darstellt und \(\arg z\) die Deutungsrichtung im relationalen Richtungsfeld.

Normierungsregel für \(S\): Ohne explizite Festlegung von (S) bleibt (s) nur formal. Für eine konkrete Repräsentation sind z.,B. Folgenprojektionen, Skalierungsregeln oder projektive Klassen zu wählen.

Kontextvereinheitlichung: Addition und Multiplikation sind nur wohldefiniert, wenn die beteiligten Relationen in kompatible Kontexte überführt werden (Vereinheitlichung der Bezugsräume).

Unbestimmter Teil \(\left(U\right)\): Der im Anhang beschriebene imaginäre/unbestimmte Anteil wird durch (S) reguliert; verschiedene Regularisierungen führen zu unterschiedlichen konkreten Darstellungen in \(\mathbb{C}\).

Mit den obigen Definitionen und Axiomen liefert die relationale Tripelnotation zusammen mit einer linearen Projektion der Selbstrelation eine natürliche, axiomatisch fassbare Herleitung der komplexen Zahlen: die reelle Maßachse und die normierte Identitätsachse bilden zusammen einen zweidimensionalen reellen Raum, dessen Algebra durch einen Operator \(J\) mit \(J^2=-\mathrm{Id}\) zur komplexen Algebra wird.

Rotation: Es sei \( V = \mathrm{span} \left\{ \mathbf{e}_P, \mathbf{e}_\varepsilon \right\} \) ein reeller Vektorraum mit \( \mathbf{e}_P \): Richtung der Projektion \( P \left( [X]_G \right) \) (Strukturebene, Teil/Ganzes), und \( \mathbf{e}_\varepsilon\): Richtung der Identitätsebene \( \varepsilon\left(X\mid G\right)\) (Unterscheidungsebene).

Die imaginäre Einheit (i) wird durch einen linearen Operator \(I:V\to V\) repräsentiert, der die folgenden Bedingungen erfüllt:

$$ I \left(\mathbf{e}P\right) = \mathbf{e}\varepsilon, $$

$$
I\left(\mathbf{e}_\varepsilon\right) = -\mathbf{e}_P,
$$

so dass

$$
I^2 = -\mathrm{Id}_V.
$$

Wir nennen \(I\) den orthogonalen Rotationsoperator der Identitätsebene: er dreht
eine Relation auf der Identitätsebene um \(90^\circ\) orthogonal zur
Projektionsrichtung.