Relationale Physik – Projektive Kinematik

Im Sinne der Relationalen Physik sei zu ergründen, dass klassische euklidische Konzepte wie der „absolute Ort“ und „parallele Geraden“ reine Projektionsphänomene seien, wie diese im Sinne eines lokalen Beobachters erscheinen mögen. Es sei der Übergang von der relationalen Grunddynamik zur scheinbar statischen, klassischen Physik herzuleiten.

Axiomatik der Relationalen Physik

Die klassische Physik, in den Anfängen der euklidischen Geometrie^[1]Euklid: Die Elemente. Entstanden ca. 300 v. Chr: Euclid. The Elements. Übersetzt von Thomas L. Heath. 2. Aufl., 3 Bände. New York: Dover Publications, 1956 und der Newton Mechanik^[2]Newton, Isaac: Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. London, 1687: Newton, Isaac. The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy. Übersetzt von I. Bernard Cohen und Anne … Continue reading geht von einem absoluten Raum aus, in dem Objekte, mathematisch dargestellt als Punkte angenommen worden waren. Raum und Zeit, die Geometrie dahinter, werden dabei meist als fundamentale Größen vorausgesetzt^[3]Vgl. zur kritischen Auseinandersetzung: Ernst Mach (1883): Die Mechanik in ihrer Entwickelung historisch-kritisch dargestellt. Dieses Paradigma sei in den Gründen der relationalen Physik zu invertieren: Raum und Orte existieren nicht absolut, sondern seien das Resultat von Beziehungen, von Relationen, die wie im Sinne des Relativverhältnis von einem Beobachter, oder von diesem ausgehend innerhalb eines Bezugssystems projiziert würden.

Unter Hinzunahme der Grundformel über die Identität der Relationalen Zahlen:

\[\Phi_{Rel}: = (a… \mid c \mid b) \iff (b… \mid c \mid a)\]

oder formalisiert:

\[\Phi_{Rel} (a, c, b) \iff \Phi_{Rel} (b, c, a)\]

sei der Übergang theoretisch zu deuten. Hierbei seien \(a\) und \(b\) relative Gegenpole, die durch das Drittverhältnis \(c\) im Sinne eines Kontext, respektive eines Beobachters im Sinne der Beschreibung in eine Invarianz überführt würden. Die im Sinne der relativen Symmetrieerscheinung einem relativen Gleichgewichtszustand genügten.

Die minimale Ordnungsstruktur wird daher beschrieben durch das Theorem der kleinsten Ordnung:

\[O_{\min}\Leftrightarrow\omega(a,b).\]

Ordnung entstehe nicht aus Identität. Ordnung entstehe aus Relationen. Im Übergang zur Projektion im Sinne der klassischen Zahlen.

Sei der Beobachter das vermittelnde Zentrum \(c\) im Relationsverhältnis, welches als Beobachtungszentrum interpretiert werden könne.

Der Fernpunkt: In der klassischen projektiven Geometrie schneiden sich parallele Geraden in einem Fernpunkt

\[ P_{\infty}. \]

Die relationale Physik interpretiere diesen Sachverhalt nun nicht als Existenz eines tatsächlichen Punktes im Unendlichen. Im Sinne der relationalen Physik beschreibe der Fernpunkt nun einen Grenzfall innerhalb einer fortwährend schwindenden Beobachtungsdifferenz.

Die Illusion der statischen Differenz

In der klassischen Physik seien Abstände als statische räumliche Differenzen \(x_a – x_b\) zu bemessen. In der Relationalen Physik sei diese Differenz keine abschließend ontologische Eigenschaft des Raumes, sondern das Resultat der Perspektive, im Verhältnis zur Projektionsebene. Daher, es gelte:

\[\Delta x \notin \Phi_{Rel}\]

Der Abstand gehöre nicht zur relationalen Ebene, dieser entstehe erst nach Projektion:

\[\Delta x \equiv \Pi_c (\Phi_{Rel}). \]

Der Projektionsoperator \(\Pi_c\) operiere hierbei im Sinne einer mathematischen Reduktion: Das relationale Netz der reinen Winkel- und Verhältnisbeziehungen reduziere sich auf eine lokale euklidische Tangentialfläche des Beobachters \(c\). Die statische Raumdistanz \(\Delta x\) sei somit keine inhärente Eigenschaft der Objekte, sondern die Spur, die das relationale Gefüge hinterlassw, wenn es durch das begrenzte Wahrnehmungsfenster des Beobachters gefiltert würde. Metrisch messbar sei der Raum durch die Konstanthaltung dieses Projektionszentrums.

Die euklidische Geometrie: Betrachten wir zwei euklidisch parallele Geraden \(L_1: y = mx + d_1\) und \(L_2: y = mx + d_2\) mit \(d_1 \neq d_2\). In homogenen Koordinaten \(X:Y:W\) lauten deren Gleichungen \(mX – Y + d_{1} W = 0\) und \(mX – Y + d_{2} W = 0\).

Die Subtraktion beider Gleichungen^[4]Rechnungen im Sinne der klassischen Arithmetik liefere:

\[mX – Y + d_{1} W – mX – Y + d_{2} W = (d_1 – d_2) W. \]

Da \(d_1 \neq d_2\) folge \(W = 0\). Setze \(W = 0\) in eine der Gleichungen ein, es folge:

\[mX – Y = 0 \Rightarrow Y = mX.\]

Womit ein geeigneter Repräsentant des Schnittpunkt beider Geraden im projektiven Raum über \(c\) bei: \(P = [1 : m : 0]\) gegeben sei. \(W=0\) kennzeichne einen projektiven Grenzfall, keinen realen „Punkt im Unendlichen“ im euklidischen, oder darin entferntesten Sinn^[5]Vgl. Felix Klein (1872): Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen (Das „Erlanger Programm“) . In der relationalen Sicht sei dies die Grenzsituation einer verschwindenden Beobachtungsdifferenz, erzeugt durch \(\Pi_c\).

Betrachten wir nun zwei parallel zueinander verlaufende Bewegungen im Sinne der klassischen Mechanik, ausgedrückt durch die Formulierung:

\[\vec{r}_a(t)=(vt,0)\]

und

\[\vec{r}_b(t)=(vt,d).\]

Für einen Beobachter im relativen Ursprung sei der sich ändernde Sehwinkel von \(b\) gegeben durch:

\[\theta_b(t) = \arctan(\frac{d}{v \cdot t})\]

Die innere Ableitung \(u'(t)\) laute nach der Potenzregel:

\[u'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{d}{v} \cdot t^{-1}\right)\] \[= -\frac{d}{v} \cdot t^{-2} = -\frac{d}{v \cdot t^2}\]

Unter Anwendung der Kettenregel auf die Winkelfunktion $\theta_b(t) = \arctan(u(t))$ folge:

$$\omega_b(t) = \frac{d}{dt}\theta_b(t) = \frac{1}{1 + u(t)^2} \cdot u'(t)$$

Einsetzen der Ausdrücke für \(u(t)\) und \(u'(t)\) liefere:

\[\omega_b(t) = \frac{1}{1 + \left(\frac{d}{v \cdot t}\right)^2} \cdot \left(-\frac{d}{v \cdot t^2}\right)\]

Wir lösen das Quadrat im Nenner des linken Bruchs auf:

\[\omega_b(t) = \frac{1}{1 + \frac{d^2}{v^2 \cdot t^2}} \cdot \left(-\frac{d}{v \cdot t^2}\right)\]

Um den Doppelbruch aufzulösen, erweitern wir den linken Bruch im Zähler und Nenner mit \(v^2 \cdot t^2\):

\[\omega_b(t) = \frac{v^2 \cdot t^2}{v^2 \cdot t^2 + d^2} \cdot \left(-\frac{d}{v \cdot t^2}\right)\]

Durch das Multiplizieren der beiden Brüche kürzen sich \(t^2\) im Zähler und Nenner sowie ein \(v\) vollständig weg:

\[\omega_b(t) = -\frac{v^2 \cdot t^2 \cdot d}{(v^2 \cdot t^2 + d^2) \cdot v \cdot t^2}\]

Das liefere das physikalisch interpretierbare Ergebnis:

\[\omega_b(t) = -\frac{d \cdot v}{v^2 \cdot t^2 + d^2}.\]

Und es gelten die Grenzwertannahmen:

\[lim⁡_{t\rightarrow \infty} \omega_b(t) = 0,\] \[\lim⁡_{t\rightarrow \infty} |\omega_a(t) – \omega_{b}(t)| = 0.\]

Diese Rechnung zeige, dass die beobachtete Winkeldifferenz verschwinde und der projektive Fernpunkt als Grenzfall einer verschwindenden Beobachtungsdifferenz interpretiert werden könne. Das Verschwinden der beobachteten Winkeldifferenz im Grenzwert demonstriere den Übergang: Je weiter sich ein System vom Beobachtungszentrum \(c\) entfernt (oder je größer t in der Annahme gewählt würde), desto träger und statischer erscheine dessen relationale Veränderung.

Die relativistische Aberration^[6]Albert Einstein (1905): Zur Elektrodynamik bewegter Körper. In: Annalen der Physik, 17, S. 891–921. liefere einen einfachen physikalischen Mechanismus, der erklärt, wie durch eine Beobachterbewegung die Winkelverteilungen so komprimiert seien, dass entfernte Objekte projektiv zusammenrücken. Formal transformiere sich der Einfallswinkel \(\alpha\) bei Relativgeschwindigkeit \(v\) mit \(\beta=\frac{v}{c}\) zu \(\alpha^{‚}\) nach

\[
\cos\alpha^{‚}=\frac{\cos\alpha-\beta}{1-\beta\cos\alpha}.
\]

Dabei gelten je nach Kontext die zusätzlichen Bedingungen: Beobachtung erfolge über Signalrichtungen, der Beobachter nähert sich einem asymptotischen Zustand \(\beta\to1\), die betrachteten Richtungen lägen in der durch Aberration komprimierten Menge und es existiere ein Projektionsoperator, der komprimierte Winkel auf dieselbe beobachtbare Repräsentation abbilde, daraus folge: Die Aberration führe zu einer projektiven Kompression der Beobachtungen und könne so die Erscheinung eines projektiven Fernpunkts erklären.

Im Versuch das Übersetzungsverhältnis von einer klassischen Physik, eng formuliert über die euklidische Geometrie und die Physik Newtons, sei anzunehmen, dies entstünde dadurch, dass der Beobachter \(c\) sein Wahrnehmungsfenster lokal begrenze und die Zeit \(t \ll \infty\) hielte. Innerhalb dieses eingeschränkten Fensters erscheine der „absoluter Ort“ im Sinne der klassischen Mechanik.