Die Relationalität

Für jedes im relativen Gegensatz stehende \(\left(a…, b…\right)\), \(\left(b…, a…\right)\), das mit \(c\) jeweils in einem relativen Drittverhältnis stünde, gelte \(\left(a…, c\right)\) wie \(\left(b…, c\right)\), und \(\left(b…, c\right)\) wie \(\left(a…, c\right)\), sodass \(\left(a…|c|b\right)\) wie \(\left(b…|c|a\right)\).

Die Grundformel beschreibe den Übergang von der Indifferenz zur Konstitution:

\[\Phi_{Rel} := (a \dots | c | b) \Leftrightarrow (b \dots | c | a)\]

Hierbei bilde \(c\) das Element, welches \(a\) und \(b\) verbinde, ohne selbst im absoluten Gegensatz zu ihnen zu stehen^[1]Identitäre Spiegelung im relativen Drittverhältnis. Die Notation \(\left(a \dots\right)\) repräsentiert dabei die im erweiterten Sinne intensive Unendlichkeit. In Anlehung an die Naturzustände, die in einem relativen Gleichgewicht zueinander stehen, und jenes, was wir als Körper verstanden haben wollten, in grundlegende Zustände innerhalb von Ausgleichsprozessen überführen, auf die sie energetisch bedingt zurückkehren, darf es im Sinne des relativ fixierten Zustand für eine stabile Identität als eine Überdichte verstanden werden. Die Philosophie, die Betrachtung der Natur galt eigentlich seit jeher viel mehr an die Logik der Mathematik gebunden, dürfte die Logik keinen Abstraktionsgrund in der Axiomatik erfahren haben, oder darauf hin anwendungsbezogen. Wo es die Logik also selbst nicht vorausgesetzt haben würde. Die Anlehnung an die Natur bleibt im Sinne der Natursprache bestehen, die selbst also keinen Abstraktionsgrund im weiteren Sinne darin erfahren habe, um diese Sprache der Natur tatsächlich zu fassen. 

So verlassen wir in der relationalen Zahlenbildung die Vorstellung einer Überlagerung nicht lediglich bedingt statischer Mengen, Objekte, Elemente und Zahlen. Die geforderte Ordnung in der Logik führe an Schnittstelle, die als operative Konstitution durch das Theorem der kleinsten Ordnung verstanden werden darf. Unter den Voraussetzungen der Relationsidentität, die tatsächlich als mathematisch weitestgehend bestimmt betrachtet werden kann, in Anlehnung an bekannte Widersprüche in der klassischen Axiomatik. Daher, es führe auf eine reinere Form von Relationsidentität, die eine saubere Trennung im Zustandsbild von Objekten und oder Zahlen gegenüber der Relation selbst erlaube.

Theorem der kleinsten Ordnung

Das Theorem \(O_{min}\) besage, dass die kleinste intrinsische Einheit im relativen Gegensatz, die selbst nicht relativ paarbezogen auf ein Ausgangsargument wäre, \(a\) wie \(b\) nicht absolut gegensätzlich erscheinen lasse.

\[ O_{min} \iff \omega(a, b) \] \[ \text{ konstituiert eine Grenzfläche in } c \]

Daraus folge, keine Einheit existiere isoliert, die nicht nach außen, oder von innen heraus zustande gekommen wäre. Jede Konstitution von Individualität erfordere ein asymmetrisches Spannungsfeld innerhalb eines indifferenten Mediums^[2]Drittverhältnis. Die kleinste hinreichende Struktur zur Erzeugung von Stabilität innerhalb der relationalen Struktur sei die relative Paarbildung:

\[ \Phi_{Rel} := (a \dots | c | b) \Leftrightarrow (b \dots | c | a) \]

Hierbei seien;

• \(a, b\): Relative Ausgangsargumente, die sich gegenseitig relativ, oder eben relationsbedingt begrenzten.
• \(c\): Das Drittverhältnis (Komplement), das die Verbindung dessen hielt, ohne selbst absolut Teil des Gegensatzes zu sein.
• \(\dots\): Die intensive Unendlichkeit (Punktuation), die den Prozess der Selbsterhaltung markierte.

Der Übergang von einer Zahl zur nächsten^[3]die Nachfolge soll in diesem System nicht im Zustandsbild eines vorausgesetzten Nachfolgers^[4]Mengenlogik und Zahlen, sondern durch Inversionsstufen innerhalb der Relationsidentität beschrieben, respektive so verstanden werden. Die gesamte bestehende Relation wird relativ in sich selbst zu \(c\) gespiegelt. Relativ, oder relational hat man, wie unter Gültigkeit der Relational Zahl, über \(1\) im Verhältnis zu \(1\) in Fall \(b\), eigentlich wie im Nachfolger ohne Unbestimmtheit der Relation ein Verhältnis wie \(2\) zu \(2\), respektive wie \(3\) zu \(3\) für den eigentlichen Schritt des Inversen, fort folgend. Weil diese sich in der Erweiterung zu sich wie nicht im Zweifachen um sich selbst im Drittverhältnis, weil wie in \(1\) zu \(2\) in Fall \(d\) als Verhältnisgröße im Raum nicht spiegeln würden. Wonach \(1\) zu \(1\) unter Fall \(c\), gegenüber \(1\) zu \(2\) in Fall \(d\) im Gegensatz des relativen Drittverhältnis in der jeweiligen Spiegelung erweitert werden müssten. Wäre das Verhältnis nicht auf sich selbst anzuwenden. Die im Einzelnen je nicht in Differenz dazu zu sehen wären, respektive nicht in Differenz dazu stehen dürften, und sich ähnlich der Annäherung in der vorausgesetzten Verhältnisgröße von \(1\) zu \(1\) wie in Fall \(c\) nicht weiter verändern würden.

Worin das Verhältnis von \(1\) zu \(1\) in Fall \(c\), und in Erweiterung das Verhältnis von \(1\) zu \(2\) in Fall \(d\) so anzusehen wäre, in der Verhältnisgröße wäre eine inverse Spiegelung darin vorzunehmen. Denn eigentlich liegt der „erzwungene Ausgleich“ in der Teilungsunbestimmtheit bei der \(1\) in Fall \(b\) schon vor. Führe in der Richtungsunabhängigkeit immer weiter zur Unbestimmtheit, wie im Sinne der klassischen Multiplikation und mehr Teilen wie \(1\) zu \(1\), oder \(1\) zu sich über die Abgeschlossenheit im Raum. Wie es zu Anfang über \(1+2+3\), daher in dem Sinne, das reziproke Drittverhältnis sei über die ersten drei Zahlen im Teilungsinkremt zu betrachten, also im Sinne der darunter genannten Superposition bereits angesprochen worden war.

Alleine diese Betrachtung, daher der ersten drei Zahlen, hinsichtlich der Relationalen Zahlenidentität dürfte zur vollständigen Erklärung der „klassischen Mathematik“ führen. Dies ergibt sich alleine über den Widerspruch \(1, 1\), oder \(1=1\) nach den Regeln der Von Neumann Logik und den Mengenaxiomen, die das Dritte, wie bei dem Versuch die Gleichheit in der Reflexivität zu erfassen, als identische Größe verneinen, bei Ordinalzahl vs. Kardinalzahl, Mächtigkeit, respektive Kardinalität, unter den Voraussetzungen der oben dargestellten Paradoxie der gebundenen Richtungsabhängigkeit. Daher, unter der Voraussetzung des Nachfolgers auf der anderen Seite der Vereinigung in der Von Neumann Zahlenlogik, sei die \(1\), wie im Sinne der Verhältnisgröße davon nicht unterschieden, oder als \(2\) nicht vorausgesetzt, bis auf das, was den Raum in der Zahlenbildung nicht abgeschlossen haben würde. Es bleiben Einserschritte auf die Richtungsumkehr, die den Raum im Sinne der eigentlich nicht vorausgesetzten Teilung, wie in der späteren Erweiterung der Zahlen aus dem Widerspruch als gleichmäßige Verhältnisgröße nicht abgeschlossen haben würden. Wäre der Vorgänger nicht vorausgesetzt worden, wäre der Nachfolger auf der anderen Seite der Vereinigung darin nicht umzukehren, die objektive Struktur bleibt darin in der Richtung unbestimmt, wie im Verhältnis \(1\) zu \(2\), oder eben in der Notationskonvention umgekehrt, unter der vergeblichen Forderung nach Gleichmäßigkeit.

Hingegen, unter der Annahme der Relationsidentität sei das Verhältnis \(1\) zu \(1\) in Fall \(c\) in der Gänze also auf die Verhältnismäßigkeit \(1\) zu \(2\) in Fall \(d\) anzuwenden, sei es einfach gesehen nun schlichtweg das Doppelte, und in der Inversen Spiegelung also je das Doppelte in der eigentlichen Relationsbedingung, was nun \(n\) zu \(n\) im Sinne eines einfachen Nachfolgerverhältnis wäre. Doch das wäre relational Wiederum relativ ungleich, oder nicht gleich gleich, gegenüber dem jeweils Dritten gesehen, bis auf das Inverse in der Spiegelung zu \(n^{`}\). Woraus relational das Nachfolgerverhältnis relativ auf \(c\) gebildet werden sollte, also ist \(n\) zu \(n’\) der relative Ausgleich, der im Merkmalsvergleich gegenüber dem jeweils Dritten stünde, und die Voraussetzung für die Nachfolgerbedingung innerhalb der Relationalen Zahl. Der reziproke Nachfolger \(n’\) sei sinngemäß die vollständige Inversion des etablierten Verhältnisses \(n\):

\[ (n \dots | c | n‘) \iff (n‘ \dots | c | n) \]

Was als mathematisches Element, als im Zustandsbild gerade angenommenes Teil einer Identität wahrzunehmen sei, sei lediglich der relative Umschlagpunkt, an dem der relationale Zustand in der Identität für ein Objekt, eine Zahl gegeben sei, dass diese als existent, oder das Element als relativ fixiert über \(c\) erscheine. Mathematisch bleibt es über das relative Drittverhältnis, respektive im Sinne der Raumforderung, die sich im Dimensionsverhältnis zu \(n\) wie zuvor zu \(c\) bemessen lassen dürfte, tatsächlich bestimmt. Daher, die Dimension erlangt operative Größe, bleibt als Relationsidentität jedoch erhalten. 

Um die Relationsidentität nicht durch externe Erweiterungen, sondern als eine Art interne Faltung, respektive Degradierung der Teilungsannahme in der Spiegelidentität zu beschreiben, sei die Prime-Notation eingeführt:

• Aus (\(a’\)), (\(a“\)), (\(a“’\)): Seien in Anlehung zur klassischen Zahlentheorie Dimensionen, Elementzustände, Zeitverhältnisse, Raum, Bewegung relativ zu \(c\) abzuleiten.

Was als physikalische Realität, oder was als Gänze zu deuten sei, sei eine Faltung innerhalb des Ur-Paares. Wollten wir annehmen, dass die endliche Dimensionsgröße ein Grenzwert der relationalen Dichte, respektive ihres abgebildeten Zustandbildes im Sinne der Relationsidentität der Relationalen Zahlen sei:

\[A := \Phi_{Ref} (a) \]

In diesem Sinne sei die Zustandsgröße somit eine relative Differenz am relativ fixierten Umschlagpunkt^[5]Vgl. Indifferenz der Existenz, Die Gleichnis existenzieller Gegenwart – Und Dasselbe eines existentiell Gegenständlichen.

Während die klassische Zahlenlogik versuchte, „Etwas aus dem Nichts“ aufzubauen, respektive aus der Leere die Umgebung zu implementieren^[6]Siehe: Mathematische Logik – Und ihre Definitionselemente, Mengenlogik und Zahlen, erkläre die relationale Logik die Zahl aus dem Übersetzungsmedium der Relationsidentität, im Sinne der Konstitution der Zahlen in der Relation selbst.

Ausblicke: Physikalische Interpretation: Die Volumetrische Überdichte: Um die räumliche Ausdehnung zu interpretieren, nutzen wir die Prime-Notation als Ausdruck der Verschachtelungstiefe. Die Dimensionen seien keine festen Plätze, sondern Grade der operativen Dichte, respektive der Relationsidentität:

\[ \Phi_{Ref} := \bigwedge_{n} (a^{(n)} \dots | c_{n} | b^{(n)}) \]

Hierbei deuten wir die Symbole innerhalb der relationalen Logik neu:

• \(n\): Stehe nicht für eine Zahl, sondern für den Grad der Refraktion (die Strich-Ebene \(a‘, a“, a“‘ \)).
• \(c_{n}\): Das jeweilige Drittverhältnis der entsprechenden Refraktionsstufe. Raum entsteht dort, wo diese Stufen simultan (\(\bigwedge\)) den Schwellenwert \(O_{min}\) halten.
• \(a^{(n)}\): Das Argument in seiner jeweiligen operativen Faltung.

Relationale Zahlen

Die vorangegangenen Ansätze über Relationale Zahlen sollen über die Relationsidentität

\[ \Phi_{Rel} := (a \dots | c | b) \Leftrightarrow (b \dots | c | a) \]

als Bedingung für relative Differenz weiter identifiziert werden. Dazu betrachten wir die Schachtelung, die relativ in sich zurücklaufe, oder die Dimension rekursiv im Zustandsbild einer Objekt Identität zurückführe. Es gelte

\[ \mathrm{deg}(\Phi_{Ref}) \]

als Grad der relativen Selbstfaltung. Diese Relation falte sich erweitert operativ, daher mit \( R :=  \Phi_{Rel}\) folge aus

\[R‘ := \Phi_{Ref} (\Phi_{Rel} (R)), \]

im Weiteren

\[R“ := \Phi_{Ref} (R‘). \]

Oder anders gesagt, die Relationale Zahl sei nun Refraktionsgrad von A. Nach der alten Schreibweise der Relationalen Zahl gelte also

\[ \varepsilon(X|G) = \Phi_{Ref}^{n} (X|G).\]

Im diesem Sinne beschreibe der reziproke Nachfolger die „Bewegung der Relation“. Sei daraus ein Übergang zu den natürlichen Zahlen, oder mengentheoretischen Elementen abzuleiten, so haben diese nunmehr relationale Identität. Die Übergangslogik von Relationsidentität hin zur reziproken Umkehrung, im Verhältnis zu \(c\), respektive \(n\) oder \(n^{`}\) in der Erweiterung sei besonders sorgfältig innerhalb den getroffenen Annahmen über die relationale Struktur, respektive die dafür zugrunde gelegte Logik zu betrachten. Das Drittverhältnis, die hergeleiteten Annahmen über Teilungsinkremt und ferner den Supplement-Vergleich haben dabei entsprechende Bedeutung, um die Logik und die Übergänge der Relationsbedingung im Sinne ihrer operativen Entfaltung über Zahl und Dimension nachvollziehen zu können. 

Arithmetische Operationen seien im Sinne der Relationalen Zahlen also keine richtungsgebundenen Folgen der rekursive Zahlenidentität. Diese sei ferner erst im Übergang zur Projektion zu bilden, respektive darüber abzubilden. Sie entspräche also einem operativen Zusammenfügen der Relationen, wie es im Supplementvergleich im Widerspruch zu den natürlichen Zahlen gestanden haben sollte. Die Kopplungstiefe der Relation im Inversen bleibt ausschlaggebend, und als Kontextgröße erhalten. 

Der Übergang in der Einbettung von „c“ in den besagten Annahmen folgt aus den in Mengenlogik und ZahlenMengenlogik und Zahlen beschriebenen Verhältnissen über Gleichheit, respektive Vereinigung, wie diese bei der Von Neumann Logik, respektive seiner Zahlen Konstruktion, und den Mengenaxiomen zum Ausdruck kommt.

Sei die leere Menge das einfachste, aber hinreichend mögliche Objekt der mathematischen Darstellung. Die Allgemeine Darstellung der Von Neumann Zahlen liefere: \(n = \{0, 1, …, n – 1\}\). Das, was mathematisch als Addition verstanden sein wollte, würde rekursiv definiert über \(m + 0 = m\), und ferner gelte \(m + S(n) = S(m+n)\). Wobei \(S(n)\) der Nachfolger von \(n\) unter dem Nachfolgeroperator \(S\) sei, also \(S(n) = n \cup \{n\}\).

Entspräche es hier nicht der Vereinigung von Mengen unter dem Nachfolger in der Verneinung von sich selbst, sei hier nun im Relationalen Zahlensinn „c“ vergleichsweise im relativen Drittverhältnis anzunehmen, als die paarweise Zuordnung der Logik entspräche. Sei die Vereinigung jedoch nicht gleich der Addition, also nicht \(m + n = m \cup n\). Denn es gelte: die Vereinigung zweier Von Neumann Zahlen, die zu sich nicht im Ausdruck der eigentlichen Extensionalität gleich wären, liefere immer die größere der beiden Zahlen. Denn es gelte ferner die Bedingung: Jede kleinere Zahl sei als Menge in jeder größeren enthalten. Daher, die Addition sei nicht durch eine einfache Mengenoperation wie \(\cup\) oder \(\cap\) zu definieren, sondern rekursiv über den Nachfolgeroperator. Und sie bilde in der Struktur relative Vielheit ab, bis auf den Ausdruck, der in der Extensionalität nicht gleich, oder nicht ungleich null, im Sinne der leeren Menge als Ausgangsargument gewesen wäre.

Zum Vergleich der Vereinigung und Addition gelte beispielhaft; \(S(2)\) = {\(\emptyset\), {\(\emptyset\)}} \(\cup\) {{\(\emptyset\), {\(\emptyset\)}}} = {\(\emptyset\), {\(\emptyset\)}, {{\(\emptyset\), {\(\emptyset\)}}} sei gleich 3. Die Addition sei mengentheoretisch also vielmehr die wiederholte Mengenvereinigung derjenigen Menge, die über den Nachfolger als Nachfolgeroperation erzeugt würde. Gelte für disjunkte Mengen \(A\) und \(B\) mit Kardinalitäten \(m\) und \(n\) nun die Kardinalität \(m + n\) von \(A \cup B\). Doch gelte, die Von Neumann Zahlen seien nicht disjunkt, weshalb die Konstruktion als notwendige Bedigung überhaupt anzunehmen wäre.

Mit den Peano – Axiomen: Es existiere eine Zahl \(0\): Jede Zahl habe einen Nachfolger \(S(n)\): \(0\) sei kein Nachfolger, sei die Addition rekursiv definiert als \(m + 0 = n, m + S(n) = S(m + n)\). Es folgten die Eigenschaften wie \(n + m = n + m\) oder \( (n + m) + k = m + ( n + k) \). Dies entspräche nun der arithmetischen Addition im konventionellen Sinne. Und für die erweiterte Annahme in der Multiplikation gelte \(m \cdot 0 = 0 \), und \(m \cdot S(n) = (m \cdot n) + m \). Daher sei ferner anzunehmen, die Multiplikation sei eine wiederholte Addition. Die Elemente der Mengen dürften hier insofern zu vernachlässigen sein, dass die definierte Addition, respektive der Nachfolgeroperator anzuwenden sei. Habe eine Menge \(A\) genau \(m\) Elemente, und eine Menge \(B\) genau \(n\), dann sei nun \(A \times B\) definiert für genau \(m \cdot n\) Elemente (\(A \times B\) Kreuzprodukt). Für die Exemplarmengen \(A = \{a, b, c\}, B = \{x, y\}\) gelte also

\[A \times B\] \[= \{(a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)\},\]

mit 6 Elementen, also \(3 \cdot 2\). Es könne nun abgeleitet werden, es gelte eine Hierarchie der Operationen, wie selbst in der Zahlen Konstruktion, innerhalb den Grundlagen der Arithmetik bauten also Operationen auf Operationen auf. Es gelte: Nachfolger \(S(n)\), Addition; wiederholter Nachfolger, Multiplikation; wiederholte Addition, Potenzierung; wiederholte Multiplikation. Sei \(m^{0} = 1, m^{S(n)} = m^{n} \cdot n\). Die elementare Arithmetik folge sinngemäß also aus dem Nachfolgeroperator und der Rekursion. Wäre die Mengenoperation als Differenz bis auf ein erstes, als nicht letztes Objekt darin nicht zu unterscheiden, daher \(A \setminus B = \{A, B\}\), aber \(A – B = C\), \(C\) ungleich \(A\), \(B\). Und es gelte \(m \geq n \Leftrightarrow m \in n \lor m = n\). Sodass ein \(k\) existiere, für welches gelte \(n + k\), wenn \(n \geq m\).

Die Von Neumann Zahlen enthielten selbst aber keine Differenz als Objekt, sondern Struktur, aus der Differenz rekonstruiert werden könne. Es folge also eine rekursive Definition der Subtraktion, und innerhalb den natürlichen Zahlen gelte eine sogenannte abgeschnittene Subtraktion, daher \(m – 0 = m\), \(m – S(n) = \textrm{pred}(m – n)\), mit \(\textrm{pred}(k)\) als Vorgänger von \(k\), es gelte also \(\textrm{pred}(0) = 0, \textrm{pred}(S(k)) = k\). Das Ergebnis, wie es dem identischen Maß in der Extensionalität nicht entsprach, sei jeweils bei 0 abzuschneiden, weil in der Von Neumann Konstruktion nur nicht negative, wohlgeordnete Mengen existierten. Für die Subtraktion \(a – b = c\) gelte eigentlich \(c + b = a\). Die Subtraktion sei also die Umkehrung der Addition, die rekursive gebildet worden wäre, oder als der Schritt, der nicht zurückgedacht, wie nicht übersprungen in der Ordnung gewesen wäre. Innerhalb den natürlichen Zahlen existiere ein solches \(c\) allerdings nur dann, wenn \(b \ge a\). Woraus die Erweiterung zu ganzen Zahlen zu erfolgen habe.

Beobachte man nun innerhalb den Von Neumann Zahlen \(0 \subseteq 1 \subseteq 2 \subseteq 3 \subseteq …\) . Da jede Zahl die Menge der kleineren Zahlen enthielte, beispielsweise für \(5 = \{0, 1, 2, 3, 4\}\), und \(3 = \{0, 1, 2\}\), sei die „Mengendifferenz“ \(5 \setminus 3 = \{3, 4\}\) nun aber nicht die Zahl 2, sondern eine Menge mit zwei Elementen, sei ihre Kardinalität jedoch 2. Und es gelte \(|5 \setminus 3| = 2 = 5 – 3\). Unter der Bedingung m \(\ge n\) sei nun \(| m \setminus n| = m – n\). Die Subtraktion dürfe also als „Größe eines Restes“ nach entfernen der kleineren Zahl aus der größeren verstanden werden. Hier entsteht wie im Verhältnis zur Extensionalität, respektive der Vereinigung im Übergang zu c, wieder das Verhältnis zu „c“ im relativen Drittverhältnis, dürfte man den bedingten Widerspruch nicht in der Verneinung der eigentlichen Ungleichheit über die Extensionalität verstehen, wie für \(A\), wie nicht für \(B\). Daher, was die singuläre Menge sonst nicht gewesen wäre.

Habe die Addition der natürlichen Zahlen also die Eigenschaft inne, dass man unter Anwendung des Nachfolgers, von einer Zahl ausgehend, stets größere oder im Sinne der Identität nicht gleich ungleich große Zahlen erreiche, \(0 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow …\) . Würde nun \(b\) zu einer natürlichen Zahl \(c\) addiert, gelte immer \(c + b \ge b\). Daher, die Gleichung \(c + b = a\) habe immer nur dann eine natürliche Lösung \(c\), falls \(a \ge b\). Für \(b\) gelte \(c + b \ge b\), daher könne die Gleichung \(c + b = a\) nur dann eine natürliche Lösung \(c\) haben, falls \(a \ge b\). Die Erweiterung in Form der ganzen Zahlen hat also widersprüchlichen Ursprung, soweit es einer Logik folgen sollte, bestehend aus dem Widerspruch, der zwischen Vereinigung (oder im erweiterten Sinne einer Unvereinigung), respektive Nachfolgergrenze als Rekursionsvergleich nicht in sich selbst enthalten gewesen sein könnte. Oder wo die Isolation eines Merkmals, einer Eigenschaft als eigene Identität wie zu sich selbst nicht erfolgt sein könnte.

Beruhten Addition und Multiplikation unmittelbar rekursiv auf den natürlichen Zahlen nach Von Neumann, so sei die Subtraktion eine partielle Umkehroperation der Addition. Durch die ganzen Zahlen, die aus dem Widerspruch abzuleiten gewesen seien, würde dies sinngemäß im konventionellen Zahlensinn eine überall definierte Operation darstellen, wie die Verwendung mehrfach gehäuften Zahlen in arithmetischen Gleichungen.

Und im ähnlichen Sinne, nimmt man es für die Division an, wonach die Erweiterung zu den rationalen Zahlen zu erfolgen habe. Gefordert aus der Frage, welche Lösung für \( 1 \div 2 = ? \) zu gelten habe, daher, gesucht sei nun c mit \( 2 \cdot c = 1 \), oder formell \( a \cdot x = b \ ( a \neq 0 ) \). Denn es existiere keine ganze Zahl, die diese Eigenschaft erfülle. Wonach die Erweiterung zu den rationalen Zahlen, im folgenden als Umkehrung der Multiplikation zu erfolgen habe.

Dürfe man im Sinne der Russellschen Antinomie unter der definierenden Eigenschaft \( x \notin x \) annehmen wollen, diese entstehe aus der Reflexion einer negativen Reflexion auf sich selbst, als die bedingte Widerspruchslösung zum Widerspruch auf die Extensionalität, wie dieser bereits angenommen worden sein sollte. Weil die Menge \( R \) durch die Eigenschaft definiert würde, sich nicht selbst zu enthalten, angewendet auf \(R\) selbst. Ohne den Selbstbezug wäre kein \(x\) als Eigenschaft nicht verneint, oder vereint nicht in sich selbst. Wenn es aber im Sinne eines Nachfolgers, in der eigentlichen „Unvereinigung“, als unechter Schnitt, oder als eine Differenz im abgeschnittenen Zustand, also in der Widerspruchslösung hinsichtlich des immer Unbestimmten keine Erweiterung gegeben haben könnte, müsste auch der Teil im Sinne der rationalen Zahlenerweiterung, der prinzipiell darauf beruhte, darin als undefiniert zu verstehen sein, wäre es nicht das Unbestimmte selbst. Und es folge der Widerspruch zum Teilungsinkrement, wie er zuvor bereits angesprochen worden war.

Es stelle sich die Frage, die im Übergang von Mengenaxiomatik, Arithmetik, über die Teil-Ganzen Beziehung, im Sinne einer extensionalen Gleichnis nicht zu definieren gewesen wäre, oder eines aus dem anderen ohne Übergänge, die darin nicht abrupt erschienen wären, tatsächlich hervorginge. Würden tatsächlich nicht Teile, als Teil-Objekt Beziehungen, wie zwischen Einzahl, Element, Menge, respektive Vielzahl innerhalb einer eigentlich wieder geschlossenen Struktur nicht vorausgesetzt. Die also in der unechten Gleichnis nicht zu verneinen gewesen wären, wollte man sie abstrakt für möglich gehalten, oder so definiert gewusst haben. Oder wie in der Vereinigung, hinsichtlich Extensionalität darin nicht undefiniert, über alles, was nicht weiter zu verneinen gewesen wäre.

Bis auf das, was sich nicht abschließen ließe, bliebe die leere Menge das, was nicht bereits alles sein würde. Wäre die Begrifflichkeit, oder die logische Deutung daran nicht zu fassen, als das Gegenteil zu implementieren. Indem ein Startpunkt, im Sinne der Zahl aufgehoben worden sein würde, den es selbst nicht definiere, sei das Zählen daher für möglich gehalten worden. Und die Wertstellung in der Anhäufung, als Kardinalzahlen. Doch war es in der Deutung, oder der Bedeutung nicht weniger abgeschlossen, als es die Begrifflichkeit nicht vorausgesetzt haben würde. Wie es zu definieren gewesen sein dürfte, als den Ursprung dessen anzuerkennen. Erkennen wir die Logik an, so muss nicht jeder Widerspruch in sich selbst anerkannt worden sein.

Dürfte man fairererweise argumentieren wollen, es verhielte sich für keine andere Bedeutung nicht anders, kein Subjekt, würde es das andere nicht verneinen, oder Prädikat im Ausdruck des Daseins dadurch werden. Sei die Wahrnehmung, die Deutung, das Erleben darin nicht zu reglementieren. Überhaupt etwas einen Namen gegeben, einen Laut ausgesprochen zu haben, dass es in der Zeichensetzung nicht gleichen Ursprungs gewesen wäre, der das Element der Wahrnehmung darin bei behielte. So würde man womöglich nie wieder davon sprechen, als die Bedeutung erst zu kennen. Doch dürfte es dieses Phänomen nicht darin verneinen, der Anspruch, der darin an sich erneut zu stellen gewesen wäre. Daher, es wäre auch nicht einfach nur zu fassen, als in der Verneinung unrichtigerweise weiter zu umschreiben gewesen, was der Sinn einer Zahl, wie eine Deutung, eine Bedeutung es nie gewesen wäre.

Hier muss der logische Kopf, der vernünftig Denkende widersprechen, als sich im Sinne der Individualität als Menschen in diesem Anspruch selbst zu verneinen, was die Bedeutung dessen, seine Umwelt nun fortan im Sinne der Entwicklung eigentlich schon für immer gewesen wäre. Das Phänomen darin anzuerkennen, die Welt aufs Neue zu verstehen, und nicht immer weiter eigentlich nur in schwarz und grau zu deuten. Wo stoßen wir an unsere Grenzen, unserer Wahrnehmung, der Deutung des eigentlich Unmöglichen. Die Welt um uns, wenigstens zu akzeptieren, als das Phänomen des Lebens, wie um sich selbst von allem nur noch zu isolieren. Und so den Sinn dafür, wie für die Bedeutung selbst zu verlieren.

Welches Wunder dürften Menschen nun erlebt haben wollen, das im Denken, als nicht dem eigentlichen Handeln, nicht immer weiter darauf beruht haben würde. Die Individualität, die Vielfalt, wäre sie überhaupt jemals zu fassen gewesen, als nicht wenigstens einfach nur zu deuten. Und zu erleben, woraus Erkenntnis bei allem menschlichen Unvermögen erwuchs, wie das Wunder des Lebens. Möge die Logik darin auch noch so schwach erschienen sein, so unscheinbar zerbrechlich, so bleibe die Wahrheit darin bestehen, ungehindert, beinahe an allem, was sich dadurch nicht versprochen worden sein würde, um die Natur in ihrem eigentlichen Grund überhaupt erst zu verstehen. Wie die Logik, die Mathematik, die Physik nicht anders zu deuten.